จุดจบของศูนย์สำหรับการยกกำลัง
เนื่องจากศูนย์เป็นตัวเลขที่มีข้อจำกัดมากมายซึ่งเป็นผลมาจากการที่เอาศูนย์ไปคูณอะไรมันก็ได้ศูนย์ เลยทำให้มันเป็นปัญหาในการนิยามคุณสมบัติต่างๆ ของจำนวนเป็นอย่างมาก ไม่ว่าจะเป็นการหารด้วยศูนย์ หรือจากบทความที่แล้วที่กล่าวถึงการยกกำลังด้วยศูนย์ ซึ่งยังไม่ได้ข้อสรุปเลยว่าค่าที่ควรจะเป็นของศูนย์ยกกำลังศูนย์เป็นเท่าไหร่ดี
สิ่งที่เราต้องจริงจังกับปัญหานี้เนื่องจากเราต้องการทำให้ระบบหรือทฤษฎีบางอย่างเป็นไปในแนวทางเดียวกัน หรือมันช่วยให้เกิดความเข้าใจได้ดีขึ้น ยกตัวอย่างเช่นจำนวนนับที่เราใช้นับจำนวนในชีวิตประจำวัน เลขศูนย์นี้ก็ยังสร้างปัญหาได้เช่นกันว่าศูนย์ถือว่าเป็นจำนวนนับรึเปล่า
ในคณิตศาสตร์เรามักจะใช้ N ที่มีขีดเพิ่มนิดนึงเพื่อแทนเซตของจำนวนนับ แล้วมันก็เป็นที่ถกเถียงกันมากว่า N เนี่ยมันควรจะมี 0 เป็นสมาชิกดีรึเปล่า แต่การมีหรือไม่มีศูนย์ในเซตนี้ก็ไม่ได้ทำให้เดือดร้อนสักเท่าไหร่ เพราะฉะนั้นในบางกรณีหรือบางเนื้อหาเราอาจจะเห็นว่า 0 ถูกคิดว่าเป็นจำนวนนับ แต่ในบางกรณี 0 ก็ไม่ถือว่าเป็นจำนวนนับ ซึ่งทั้งนี้ทั้งนั้นก็ขึ้นกับการนำไปใช้ว่าการนิยามแบบไหนจะช่วยชีวิตเราให้เกิดความเข้าใจมากกว่ากัน เท่านั้นเอง
ย้อนกลับมาในการพยายามหาค่าของศูนย์ยกกำลังศูนย์ จากความคิดเดิมที่ว่าค่าในการคำนวณมันควรจะมีค่าเดียว ทำไมถึงไม่ใช้แนวคิดนี้กับการกำหนดค่าของศูนย์ยกกำลังศูนย์ เพราะว่ามันหามาได้ 2 ค่า ก็ไม่ต้องไปนิยามมันเลย ปล่อยไว้เป็นไม่นิยามไม่ได้หรอ???
แนวคิดดังกล่าวสามารถทำได้ แต่เรามีความจำเป็นต้องใช้ค่าของศูนย์ยกกำลังศูนย์อยู่ในบางสถานการณ์ ยกตัวอย่างเช่น
1. Binomial theorem
ในการคำนวณหรือการกระจายเทอมของ (x + y) ^ 2 = x ^ 2 + 2xy + y ^ 2 ที่เราท่องกันเมื่อครั้งเรียนมัธยม เราสามารถเขียนสูตรทั่วไปเพื่อใช้ในการคำนวณค่าของการยกกำลังใดๆ ที่ไม่ใช่ 2 ก็ได้ นั่นคือ
เราเรียกสูตรข้างบนว่า binomial theorem แต่เนื่องจากในสูตรมันเกี่ยวข้องกับตัวแปร x, y และ n ที่จะเป็นค่าอะไรได้ แต่ n ต้องเป็นจำนวนเต็มเท่านั้น งั้นถ้าลองแทนค่า x = 1, y = -1 และ n = 0 ไปในสูตรนี้จะได้ว่า
เนื่องจากค่าของฝั่งซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับมันก็คือศูนย์ยกกำลังศูนย์นี่นา เลยจัดรูปสักหน่อย ได้เป็น
ทีนี้มาพิจารณาค่าฝั่งขวามือบ้าง เครื่องหมายที่คล้ายๆ ตัว E จะใช้แทนความหมายว่าเป็นการบวกกันของเทอมที่แทน k = 0 ไปจนถึง k = n แต่ n ในที่นี้ก็คือศูนย์ เนื่องจากค่าเริ่มต้นของการบวกคือ k = 0 แล้วก็ไปสิ้นสุดที่ k = n = 0 เลยกลายเป็นว่ามันมีอยู่เทอมเดียว ซึ่งก็คือเทอมที่ k=0 นั่นเอง ซึ่งจะได้ว่า
เนื่องจากเรารู้มาจากบทความนี้ว่า
เลยทำให้ได้ว่า
แต่มันมีเทอมที่อยู่ในวงเล็บแรกที่คล้ายๆ กับเศษส่วนแต่ไม่มีขีดคั่นกลาง เทอมนี้จะสื่อถึงความหมายของการจับคู่ combination ต่างๆ ซึ่งมีสูตรการคำนวณว่า
ทำให้ได้ว่า
ซึ่ง 0! = 1 (สามารถอ่านเพิ่มเติมได้ที่นี่) เลยทำให้กลายเป็นว่า
นั่นหมายความว่าเพื่อให้การนิยามเป็นไปในแนวทางเดียวกัน ดูเหมือนว่าการนิยามค่าของศูนย์ยกกำลังศูนย์ให้มีค่าเท่ากับ 1 ดูเหมือนจะมีประโยชน์กว่านิยามให้เป็น 0 หรือไม่นิยามค่ามันเลย
2. จำนวนความสัมพันธ์ที่สร้างได้ใน 2 เซต
อันนี้ก็เป็นอีกหนึ่งเหตุผลที่เราจำเป็นที่จะต้องนิยามค่าของศูนย์ยกกำลังศูนย์ แต่ครั้งนี้ขอย้อนไปสักประมาณ ม.4 ที่ได้เรียนเรื่องความสัมพันธ์ เรามักจะเจอภาพของวงรีๆ 2 วงแล้วมีจุดในนั้นพร้อมกับการลากเส้นโยงไปต่างๆ นานา
โดยความหมายของภาพนี้คือ วงรีจะสื่อถึงเซต จุดคือสมาชิกในเซตนั้น เส้นตรงที่มีลูกศรคือการจับคู่สมาชิกของทั้งสองวงรี (สองเซต) นี้ แล้วเราจะเรียกสิ่งที่ได้จากการจับคู่ระหว่างจุดในสองววงรีนี้ว่าคู่อันดับ คำถามคือถ้าเซตแรกมีสมาชิก 4 ตัว (หรือมีจุดอยู่ 4 จุด) และเซตสองมีสมาชิกอยู่ 3 ตัว (หรือมีจุดอยู่ 3 จุด) คำถามคือเราจะมีวิธีการลากลูกศรได้ทั้งหมดกี่แบบ
เราสามารถคิดได้จากการดูไปทีละจุดเริ่มจากจุดบนสุดว่ามีมีความเป็นไปได้กี่แบบที่มันจะไปจับคู่กับจุดที่อยู่ในอีกวงรีนึง ซึ่งจุดในอีกวงรีมี 3 จุด แล้วมันจะจับคู่กับจุดไหนก็ได้ เลยได้เป็น 3 วิธี
และเราก็คำนวณต่อด้วยแนวคิดเดิมกับจุดที่สอง
ซึ่งจะได้ว่ามันก็มีทางเลือก 3 ทางในการจับคู่เช่นกัน และในกรณีของจุดที่ 3 และ 4 ก็จะมีอีกจุดละ 3 ทางเช่นกัน
เพราะฉะนั้นโดยรวมแล้วเราจะสามารถสร้างได้ 3 × 3 × 3 × 3 = 3 ^ 4 วิธี นั่นคือความสัมพันธ์ที่สามารถสร้างขึ้นได้จ่ก 2 เซตนี้คือ 3 ^ 4 แบบ
ถ้าเรามองเลข 3 กับ 4 ดีๆ เลข 3 นั้นจะมาจากจำนวนจุดของวงรีหลัง (จำนวนสมาชิกของเซตที่จะจับคู่) และ 4 จะมาจากจำนวนจุดของวงรีแรก (จำนวนสมาชิของเซตที่ถูกจับคู่) ดังนั้นแล้วถ้าทั้งสองวงรีมันไม่มีจุดอยู่เลยหล่ะ หรือก็คือทั้งสองเซตนี้เป็นเซตว่างทั้งคู่ จำนวนความสัมพันธ์ที่จะสร้างขึ้นได้จะเป็นเท่าไหร่
เราก็ยิ้มมุมปากเลยครับก็ใช้สูตรในการคำนวณสิ เอาจำนวนจุดของวงรีขวามายกกำลังด้วยจำนวนจุดของวงซ้าย ซึ่งจะได้ค่าเท่ากับ … 0 ^ 0 (ศูนย์ยกกำลังศูนย์)!!! แล้วค่าของมันจะเป็นเท่าไหร่
สำหรับความหมายนี้ก็คือการหาจำนวนความสัมพันธ์ทั้งหมดที่จะสามารถเกิดขึ้นได้โดยการจับคู่จุดในทั้งสองวงรี แล้วคำถามคือสำหรับความสัมพันธ์ที่เกิดจากเซต (หรือวงรี) ที่ไม่มีอะไรเลยแบบนี้มันมีกี่ความสัมพันธ์ อันนี้เป็นสิ่งที่เราไม่สามารถให้ความหมายด้วยแนวคิดเดิมได้แล้ว เพราะว่ามันไม่มีตัวให้จับคู่ไปเลย เลยต้องไปใช้นิยามของความสัมพันธ์ที่กล่าวว่าความสัมพันธ์คือสับเซตของคู่อันดับที่สามารถเกิดขึ้นจากทั้งสองเซตนี้ ซึ่งเซตว่างเป็นสับเซตของทุกเซตตามนิยาม เรากลายเป็นว่าความสัมพันธ์ที่เกิดจากความว่างเปล่าของทั้งสองวงรีนี้คือความสัมพันธ์เซตว่างอยู่ 1 ความสัมพันธ์
ดังนั้นเราผนวกการคำนวณจำนวนความสัมพันธ์โดยการใช้สูตรได้ว่า 0 ^ 0 กับการคำนวณโดยใช้นิยามเกี่ยวกับเซตจะได้เท่ากับ 1 เลยกลายเป็นว่าต้องนิยามให้ 0 ^ 0 = 1 เพื่อจะได้ไม่เกิดความขัดแย้งขึ้นมา
3. ความชันของเส้นตรง
กราฟเส้นตรงเป็นกราฟที่ถือว่าเป็นพื้นฐานสุดในการเรียนเรื่องเกี่ยวกับฟังก์ชัน เพราะมันหมายถึงความสัมพันธ์ของปริมาณ 2 อย่างที่แปรผันตามกัน คุณลักษณะที่เป็นเอกลักษณ์ของกราฟเส้นตรงก็คือจะมีค่าความชันที่เท่ากันโดยไม่สนว่าเราจะเอาจุดไหนมาคิดก็ตาม
เพื่อความเข้าใจง่าย ขอยกตัวอย่างเป็นกราฟ y = f(x) = x (จะเรียกว่า y = x หรือ f(x) = x ก็ได้ทั้งนั้น) ซึ่งเราอาจจะลองพล็อตกราฟนี้กันสักหน่อยก็จะได้เป็นเส้นตรงที่ผ่านจุด (0,0) ด้วย
โดยที่ความชันสามารถคำนวณได้จาก
ซึ่งตีความได้ก็คืออัตราส่วนการเปลี่ยนแปลงในแนวดิ่งและการเปลี่ยนแปลงในแนวราบ ลองมองตัวอย่างของบันได ถ้าเราพบว่าความกว้างของแต่ละขั้นบันไดมันสั้นมาก และความสูงของแต่ละขั้นที่เราต้องก้าวมันสู้งสูง เราจะเรียกบันไดแบบนั้นว่ามันชันมากกกก
สำหรับความชันของกราฟนี้สามารถคำนวณได้โดยจะหยิบจุดไหนมาใช้ในการคำนวณก็ได้ เช่น เอาจุด (2,2) และ (0,0) มาคำนวณจะได้เป็น
ซึ่งความชันที่เท่ากับ 1 ของเส้นตรงนี้จะคือความชันของทุกจุดในความสัมพันธ์นี้เลย
เรื่องราวดูเหมือนจะยังปะติดปะต่ออะไรไม่ค่อยได้ แต่ถ้าเรานึกถึงเรื่องเกี่ยวกับแคลคูลัสเราจะพบว่ามันมีสิ่งที่ใช้แทนความชันของกราฟหรือไฟงก์ชันอะไรก็ตามแต่ อยู่เหมือนกันนี่นา ซึ่งสิ่งนั้นถูกเรียกว่า การดิฟ (Differentiation) ซึ่งสูตรที่ใช้ในการคำนวณค่าดิฟก็คือ
เชื่อว่าหลายคนน่าจะยังพอคุ้นๆ กับสูตรนี้อยู่ จากนั้นเราจะแทนค่า n = 1 เพราะว่าเรากำลังสนใจกราฟเส้นตรง (y = x หรือ f(x) = x) ที่มีดีกรี 1 อยู่ ก็จะได้เป็น
แต่จากที่เราคำนวณไปแล้วว่าความชันของเส้นตรงนี้มันคือ 1 นี่นา
และเนื่องจากว่าความชันของกราฟเส้นตรงจะมีค่าเท่ากันทุกจุดเลย ซึ่งที่จุด (0,0) ก็จะต้องมีความชันเท่ากับ 1 เช่นกัน ซึ่งนั่นหมายถึงว่าเมื่อแทน x = 0 ในสมการข้างบนก็ยังต้องเป็นจริงอยู่ดี สุดท้ายจะได้ว่า 0 ^ 0 = 1 หรือศูนย์ยกกำลังศูนย์ต้องเท่ากับ 1 เพื่อให้ไม่เกิดความขัดแย้งกันเอง
ถึงแม้ว่าจะยังมีนักคณิตศาสตร์หลายคนไม่เห็นด้วยอยู่ดีว่าเราสามารถนิยามค่าดังกล่าวได้จริงๆ เลยเลือกที่จะไม่นิยามค่านี้อยู่ แต่ดูเหมือนว่าท้ายสุดแล้วการนิยามค่าของศูนย์ยกกำลังศูนย์ให้มีค่าเป็น 1 จะเป็นสิ่งที่ตอบโจทย์มากที่สุดแล้ว เพราะมันช่วยรักษาความสอดคล้องต่างๆ ในการหาความหมายและการตีความในบริบทอื่นๆ
