ศูนย์ กับปัญหาการยกกำลังด้วยศูนย์
ในบรรดาตัวเลขทั้งหมด ถือได้ว่า 0 เป็นตัวเลขที่ทำตัวมีปัญหาที่สุด ตั้งแต่การหารด้วยศูนย์ที่ทำให้ต้องปวดหัวว่าจะนิยามค่าที่ได้จากการหารด้วยศูนย์ยังไงดี คราวนี้มีคำถามอีกแล้วว่าค่าของศูนย์ยกกำลังศูนย์ควรเป็นเท่าไหร่ดี
แนวคิดศูนย์ยกกำลังศูนย์ได้เท่ากับ 1
แนวคิดนี้เริ่มต้นมาจากการพิจารณาจำนวนอื่นๆ ที่ไม่ใช่ 0 แล้วมาลองยกกำลังศูนย์ดู แต่การยกกำลังศูนย์มันอาจมองภาพไม่ออกเท่าที่ควร เลยมองเป็นการหารกันของเลขยกกำลังที่มีฐานเหมือนกันแทน เพราะการหารดังกล่าวนี้จะคำนวณค่าได้โดยการนำเลขชี้กำลังมาลบกันแทน ยกตัวอย่างเช่น การหาค่าของ 2 ยกกำลังด้วยศูนย์
เนื่องจาก 0 = x - x โดยที่ x เป็นค่าอะไรก็ได้ ทำให้ได้ว่า
ใช้คุณสมบัติของเลขยกกำลัง ทำให้ได้ว่าการลบกันของเลขยกกำลังแท้จริงแล้วคือการหารกันด้วยฐานที่เหมือนกัน เลยเขียนได้เป็น
เนื่องจาก 2 ≠ 0 ทำให้เมื่อเอา 2 มายกกำลังด้วยค่าใดๆ ก็ตามจะไม่เท่ากับ 0 แน่นอน ดังนั้นการเลยคำนวณค่าการหารได้ ซึ่งมันก็คือการหารด้วยค่าของมันเอง ผลลัพธ์ที่ได้ก็ควรเท่ากับ
เนื่องจากทุกเทอมที่คำนวณมาถูกเชื่อมด้วยเครื่องหมายเท่ากับหมดเลย ก็สามารถสรุปได้ว่า
หรือก็คือ 2 ยกกำลัง 0 หรือ 2 ^ 0 มีค่าเท่ากับ 1
ซึ่งจริงๆ แล้วสามารถนำแนวคิดนี้ไปใช้กับฐานตัวอื่นที่ไม่ใช่ 2 ก็ได้ แต่เราจะประยุกต์ใช้กับฐานที่เป็น 0 ไม่ได้ เพราะว่ามันจำเป็นต้องใช้การหารเข้ามาในการพิสูจน์นี้ ซึ่งการหารด้วยศูนย์มัน …ยังไงไปดูที่ลิ้งค์นี้ครับ
เพราะฉะนั้นแล้วก็เลยสรุปได้ว่า
แต่น่าเสียดายที่คุณสมบัตินี้ไม่นิยามที่ a = 0 ไม่งั้นจะสามารถตอบได้ทันทีว่าศูนย์ยกกำลังศูนย์ควรมีค่าเท่าไหร่ เราเลยต้องไปพิจารณาค่าที่อยู่ใกล้ๆ 0 แทน แต่เนื่องจากว่าคุณสมบัตินี้บอกว่าทุกค่า a ที่ไม่เป็นศูนย์พอยกกำลังศูนย์ต้องได้ 1 เสมอ นั่นแปลว่า ค่าที่อยู่ใกล้ๆ 0 ทั้งทางฝั่งที่เป็นบวกและลบพอเอามายกกำลังศูนย์ก็จะมีค่าเป็น 1 นั่นเอง หรือว่าศูนย์ยกกำลังศูนย์จะมีค่าเท่ากับ 1!?
แนวคิดศูนย์ยกกำลังศูนย์ได้เท่ากับ 0
ขณะที่กำลังนั่งสงสัยว่าก็ได้ค่าเป็น 1 แล้วไม่ใช่หรอ ก็มีอีกแนวคิดนึงโผล่ขึ้นมาโดยการอ้างอิงจากการนำศูนย์นี่แหล่ะไปยกกำลังเลขอื่นๆ แทน แต่เลขอื่นในที่นี่ต้องระวังหน่อย เพราะว่าถ้าเลขชี้กำลังเป็นลบเมื่อไหร่เราสามารถทำให้เลขชี้กำลังนั้นเป็นค่าบวกได้ด้วยการกลับเศษและส่วนกัน
ดังนั้นสำหรับกรณีที่ a = 0 จะพบว่า
มันจะอันตรายมากที่สำหรับค่า x ที่เป็นจำนวนลบ เพราะว่าถ้า 0 ^ x = 0 ขึ้นมาจะซวย เพราะการหารด้วยศูนย์มันมีปัญหาอยู่ (เอ้าา ลิ้งค์มาอีกที)
เนื่องจากค่า x ที่เป็นลบก็ไม่รู้ว่าจะหาค่าได้รึเปล่าหรือจะนำไปสู่การหารด้วยศูนย์ (ไม่มีลิ้งค์ละนะ!!) และถ้า x เป็นศูนย์ มันก็จะกลายเป็นค่าศูนย์ยกกำลังศูนย์ซึ่งกำลังหาอยู่ เพราะฉะนั้นด้วย Trichotomy of real numbers ซึ่งบอกว่าจำนวนจริงจะถูกแบ่งเป็น 3 ประเภทคือค่าลบ ศูนย์ และค่าบวก ทำให้เหลือค่าที่เป็นไปได้ของ x ที่ไม่ติดปัญหาอะไรเลย ก็คือค่า x ที่เป็นบวก หรือ x > 0 นั่นเอง
สำหรับการพิสูจน์คุณสมบัตินี้จะวุ่นวายกว่าเดิมนิดหน่อย แต่เพื่อให้เข้าใจง่ายขอแบ่งกรณีเป็น 2 (+ 1) กรณี
กรณีที่ 1, ค่า x ที่เป็นจำนวนเต็ม : จัดไปด้วยค่า x ที่เป็นจำนวนเต็ม การที่ศูนย์ยกกำลัง x นี้ตามความหมายของการยกกำลังก็คือการคูณศูนย์ซ้ำไปเรื่อยๆ ทั้งหมด x ครั้ง ซึ่งเอาแค่การคูณครั้งแรกก็พอสรุปได้ว่ามันต้องมีค่าเท่ากับ 0 แน่ๆ เพราะว่า 0 คูณอะไรก็ได้ 0 นั่นเอง
กรณีที่ 2, ค่า x ที่เป็นจำนวนตรรกยะ : อย่าเพิ่งตกใจกับคำว่าตรรกยะ แท้จริงแล้วมันคือตัวเลขน่ารักๆ ที่เราใช้กันอยู่ในชีวิตประจำวันไม่ว่าจะเป็นเศษส่วน จำนวนเต็ม หรือทศนิยมซ้ำๆ ต่างๆ นานา ซึ่งตามนิยามทางคณิตศาสตร์จะนิยามจำนวนตรรกยะ (Rational numbers) ว่าเป็นตัวเลขที่สามารถเขียนในรูปของเศษส่วนได้ นั่นคือ x = p / q โดยที่ p และ q เป็นจำนวนเต็ม ซึ่ง q ≠ 0 (ซึ่งจะพบว่ากรณีที่ 1 มันเป็นส่วนหนึ่งของกรณีนี้นี่ว่าถ้าแทน q = 1 แต่ที่แยกมาเป็นกรณีแรกเพื่อให้เข้าใจง่ายมากขึ้น เลยตอนแบ่งเคสจึงบอกว่าเป็น 2+1 กรณี)
คำถามคือแล้วการยกกำลังด้วยเศษส่วนแบบนี้มันหมายความว่ายังไง ซึ่งจะอธิบายว่ามันหมายถึงการคูณกันซ้ำๆ ไป x = p / q ครั้งก็ไม่ได้เพราะ p / q นี้อาจจะไม่เป็นจำนวนเต็มอีกต่อไปแล้ว
โชคยังดีที่เรามีคุณสมบัติของเลขยกกำลัง ทำให้เราสามารถถอดความของการยกกำลังด้วยเศษส่วนได้ ขอยกตัวอย่างเป็น 3 ยกกำลัง 1/2 หรือใช้สัญลักษณ์แทนว่า 3 ^ (1/2) (ต้องใส่วงเล็บด้วยนะจ๊ะ เพราะลำดับการคำนวณจะทำจากเลขยกกำลังก่อนเลย ถ้าเขียนว่า 3 ^ 1/2 จะเท่ากับค่า 3/2 แทน อ่านเรื่องราวแบบนี้เพิ่มเติมได้ที่นี่)
เนื่องจากถ้าเลขยกกำลังมีฐานเหมือนกัน เวลาคูณกันจะนำเลขชี้กำลังมาบวกกันแทน ซึ่งถ้าให้ 3 ^ (1/2) คูณกับตัวมันเองดูจะได้ว่า
ซึ่งมันช่างสอดคล้องกับแนวคิดของการหาค่าของรากที่ 2 ของ 3 เลย เพราะความหมายของรากที่ 2 ของ 3 ก็คือ เลขอะไรก็ไม่รู้ยกกำลัง 2 ได้ 3 ดังนั้นค่าของ 3 ^ (1/2) ที่มีค่าฐาน = 3 และค่าตัวส่วน = 2 แท้จริงแล้วก็คือค่าของรากที่ 2 (ตัวส่วน) ของ 3 (ฐาน) หรือถ้าจะนิยามในรูปทั่วไปกว่านั้นก็คือว่ารากที่ n ของ a ก็คือจำนวนอะไรก็ไม่รู้ที่ยกกำลัง n แล้วได้ a พอดีหรือก็คือ a ยกกำลัง 1/n นั่นเอง ด้วยเหตุนี้เลยกลายเป็นว่าการยกกำลัง 0 ด้วยเศษ 1 ส่วน q จะสื่อถึงการเป็นรากที่ q ของ 0
แต่บังเอิญว่า x = p/q = p × (1/q) ซึ่งสามารถใช้คุณสมบัติของเลขยกกำลังในการตีความได้เช่นกัน เนื่องจากว่า
เลยทำให้ได้ว่า
เพราะฉะนั้นเราต้องหาค่ารากที่ q ของ 0 ออกมาให้ได้ แต่เมื่อคิดๆ ดูแล้ว จำนวนอะไรที่ยกกำลัง q แล้วได้ 0 บ้าง …หลังจากผ่านการไตร่ตรองมาอย่างถี่ถ้วนแล้วจะพบว่าไม่มีจำนวนไหนเลยที่สอดคล้องยกเว้น 0 ดังนั้นรากที่ q ของ 0 จึงมีค่าเป็น 0
ทีนี้เลยกลายเป็นว่ากำลังหาค่าของ 0 ^ p ซึ่ง p เป็นจำนวนเต็ม ก็ใช้กรณีที่ 1 ได้ด้วยการตีความเลขยกกำลังนี้ว่าเป็นการคูณกันซ้ำๆ p ครั้ง ซึ่งให้ผลลัพทธ์เป็น 0 แน่นวล ดังนั้น จะได้ว่า
กรณีที่ 3, ค่า x เป็นจำนวนอตรรกยะ : แน่นอนว่าถ้าเจอตรรกยะ ก็คงต้องพูดถึงส่วนที่ตรงข้ามกับมันก็คืออตรรกยะ (Irrational numbers) เพราะจำนวนจริงสามารถแบ่งออกเป็นตรรกยะกับอตรรกยะ และเราจะเรียกตัวเลขว่าเป็นอตรรกยะก็ต่อเมื่อมันไม่สามารถเขียนให้อยู่ในรูปของเศษส่วนได้นั่นเอง (นิยามก็คือตรงกันข้ามจากตรรกยะเลย) ตัวอย่างของจำนวนอตรรกยะที่เป็นที่นิยมก็คือ π, e, แล้วก็พวกรู้ทต่างๆ ที่หาค่าไม่ได้เป็นจำนวนเต็ม
คำถามคือการยกกำลังด้วยจำนวนอตรรกยะจะหาค่าได้ยังไง มันดูไม่อยากอ่านต่อไปหมดแล้ว
อาจจะเริ่มพิจารณาค่าของ 3 ^ π ว่าจะมีค่าเท่ากับเท่าไหร่ หรืออาจจะถามก่อนหน้านั้นว่ามันหมายถึงอะไร แน่นอนว่าคงไม่ใช่การยกกำลังไป π ครั้งแน่นอน และเนื่องจากเราไม่สามารถเขียน π ในรูปเศษส่วนได้เลยจะแปลงแล้วมาใช้คุณสมบัติของเลขยกกำลังในการตีความก็ไม่ได้แล้ว พังจริงอันนี้
ต้องชื่นชมความพยายามของนักคณิตศาสตร์ในการแก้ปัญหา เค้าไปใช้เรื่องเกี่ยวกับลำดับ (Sequences) และความเข้าใกล้ (Limits) โดยการไปดูที่ค่าประมาณของ π แทน ซึ่งเริ่มจาก 3.1, 3.14, 3.141, … จากนั้นก็จะดูพฤติกรรมว่าค่ามันเปลี่ยนแปลงอย่างไรบ้าง ถ้ามันมีท่าที่ว่าจะขยับมาใกล้เคียงกับค่าใดค่าหนึ่งเป็นพิเศษเราจะเรียกกลุ่มตัวเลขเหล่านั้น (ศัพท์เทคนิคคือลำดับ) ว่าลู่เข้า (Convergent sequences) แต่ถ้าไม่ ค่าของมันกลับเพิ่มหรือลดไปเรื่อยๆ จะเรียกว่าลู่ออก (Divergent sequences)
ดังนั้น ในการหาค่าของ 3 ^ π เราจะพิจารณาชุดตัวลขของ 3 ยกกำลังด้วยค่าประมาณที่ละเอียดขึ้นของ π แทน ดังนี้ 3 ^ 3.1, 3 ^ 3.14, 3 ^ 3.141, … ซึ่งผลปรากฏว่าค่า 3 ^ π มีการลู่เข้าค่าบางอย่างอยู่ที่ราวๆ 31.544 มันก็เป็นการเพียงพอที่จะสรุปว่า 3 ^ π เท่ากับค่าดังกล่าว
ดังนั้นเราจะใช้แนวคิดนี้ในการคำนวณค่าของ 0 ^ π บ้าง เพราะฉะนั้นจะสนใจไปที่ชุดตัวเลขของ 0 ^ 3.1, 0 ^ 3.14, 0 ^ 3.141, … ซึ่งตอนนี้เลขชี้กำลังในแต่ละเทอมนี้เป็นจำนวนตรรกยะเรียบร้อยแล้ว (เขียนอยู่ในรูปเศษส่วนได้) ดังนั้นเราจะใช้ผลจากกรณีที่ 2 เป็นการสรุปว่าแต่ละค่ามันเท่ากับ 0 ดังนั้นค่า 0 ^ π ก็เลยลู่เข้า 0 ด้วยเช่นกัน
จากทั้ง 3 กรณีเราจะพบว่า 0 ยกกำลังอะไรก็ไม่รู้ที่เป็นบวก มันจะได้ค่าเป็นศูนย์ นั่นคือสำหรับกรณีของ x ที่เป็นค่าลบ เลยทำให้ไม่ถูกนิยาม (เพราะเมื่อ x เป็นลบ เลยกลับเศษส่วนกันกลายเป็นว่า 0 ^ x จะเป็น 1 / (0 ^ x) แทน ซึ่งก็จะกลายเป็นการหารด้วย 0 ไปอีกที)
ดังนั้นเลยสรุปว่า
คุณสมบัติของศูนย์ยกกำลังด้วยจำนวนบวกใดๆ จะเท่ากับศูนย์
จากคุณสมบัติตรงนี้ เราสามารถคำนวณค่าของศูนย์ยกกำลังศูนย์จากวิธีนี้ได้โดยการพิจารณาจากค่า x (เลยชี้กำลัง) ที่เข้าใกล้ 0 แต่เนื่องจากคุณสมบัตินี้นิยามเฉพาะค่า x ที่เป็นค่าบวกเท่านั้น เลยพิจารณาได้เฉพาะค่า x ที่เข้าใกล้ 0 จากฝั่งที่เป็นบวกเท่านั้น ซึ่งจะได้ว่าค่านั้นก็คือ 0 ไม่ใช่ 1 เหมือนแนวคิดแรก
แนวคิดศูนย์ยกกำลังศูนย์ — ช่างมันเถอะลูก
ใครอ่านมาถึงตรงนี้ต้องขอชื่นชม คิดว่าหัวต้องมีระเบิดบ้างแหล่ะ แต่หน่า ลองยื้อต่ออีกหน่อยนึงนะ
เนื่องจากถ้าคำนวณตามแนวคิดแรกที่ว่า
จะได้ว่าศูนย์ยกกำลังศูนย์เท่ากับ 1
แต่ถ้าคิดตามแนวคิดที่สองที่ว่า
จะได้ว่าศูนย์ยกกำลังศูนย์เท่ากับ 0
เพราะค่าที่ได้ (ซึ่งก็สมเหตุสมผลด้วย) มีมากกว่า 1 ค่า เลยเป็นที่ถกเถียงกันมากว่าควรจะสรุปว่าค่ามันเป็นค่าไหนกันแน่ระหว่าง 0 กับ 1 แต่จนแล้วจนรอดก็มีอีกกลุ่มนึงออกมาขออนุญาตเก็บมันไว้ว่าไม่นิยามแทนละกัน
แต่การไม่นิยามค่าศูนย์ยกกำลังศูนย์แบบนี้จะดีหรอ!!??!
โปรดติดตามตอนต่อไป ….ห้ะ! นี่ยังไม่จบหรอเนี่ย! …(ซึ่งสามารถกด link นี้ต่อได้เลย)
