Happy Pi Day!
สืบเนื่องมาจากค่าของ π (pi) ที่มีค่าประมาณ 3.14…* เลยทำให้วันที่ 14 มีนาคมของทุกปีมีชื่อเรียกอีกอย่างหนึ่งว่า Pi day และเนื่องในโอกาสนี้ ผมมีเรื่องเล่าที่น่าสนใจเกี่ยวกับค่า π แต่อาจจะไม่ได้เกี่ยวกันโดยตรง นั่นคือ τ (tau) มาเล่าให้ฟังกันครับ
*สาเหตุที่ต้องมี … ต่อท้ายเนื่องจากว่าค่าที่แท้จริงของ π เป็นทศนิยมที่ไม่มีที่สิ้นสุด
Influencer ก่อนคริสตกาล
เรื่องราวเริ่มต้นจากนักคณิตศาสตร์ผู้โด่งดังนามว่า Archimedes ที่ศึกษาสัดส่วนของรูปวงกลมจนประกาศกับคนทั้งโลกว่า “สัดส่วนวงกลมนะหรอ ถ้าอยากได้ข้าจะยกให้ ก็ลองหาดูสิข้าได้เอาทุกสิ่งทุกอย่างในโลกนี้ ไว้ ณ ที่แห่งนั้นแล้ว”
หลอก ๆ นะ อันนี้เลียนแบบคำพูดของโกลด์ ดี โรเจอร์ในการ์ตูนวันพีซ แต่จริง ๆ แล้วใจความของ Archimedes คือว่า
ข้าได้ค้นพบแล้วว่าความยาวเส้นรอบวง (C) ต่อเส้นผ่านศูนย์กลาง (D) จะมีค่าเท่ากันเสมอไม่ว่าวงกลมนั้นจะมีขนาดเล็กหรือใหญ่ก็ตาม
ด้วยรูปร่างที่สวยงามและความสมมาตรอันไร้ที่ติ วงกลมก็ได้ถูกอัปเกรดขึ้นอีกขั้นด้วยการค้นพบว่ามีค่าอัตราส่วนที่คงที่สำหรับทุกรูปวงกลมบนโลกใบนี้ ทำให้บรรดาสาวกและคนทั้งวงการตื่นตาตื่นใจเป็นอย่างมาก นี่มัน God’s ratio นี่คือของขวัญจากผู้เป็นเจ้าเป็นแน่แท้ ซึ่งคนทั่วโลกรู้จักอัตราส่วนนี้ในชื่อว่า π และใช้สัญลักษณ์นี้เรื่อยมาจนกลายเป็นที่นิยมในทุกวงการ
π is wrong!
ภายใต้ความสงบสุขของการใช้ π อยู่มาวันหนึ่งได้มีชายนามว่า Bob Palais ได้ตั้งคำถามเกี่ยวกับการใช้ π และเกิดความสงสัยว่า π มีไว้ทำไม โชคดีที่ในยุคนั้นไม่ได้มีตำรวจควบคุมฝูงชนที่พร้อมกระทืบทุกคนที่คิดต่างหรือนายอาจจะไม่ได้สั่งมา ชีวิตของ Bob Palais เลยอยู่รอดจนสามารถตีพิมพ์บทความชื่อว่า π is wrong! ได้
สำหรับตัวบทความก็เขียนได้ดุเด็ดเผ็ดมันเหมือนชื่อบทความเลย โดยมีการหยิบยกตัวอย่างว่าการใช้ π มันมีความไม่สมเหตุสมผลและขัดต่อสามัญสำนึกอยู่ ยกตัวอย่างเช่น เวลาเราพูดถึงตำแหน่งต่าง ๆ ของวงกลม เราอาจจะบอกเป็นมุมที่วัดทวนเข็มนาฬิกาเทียบกับแกนแนวนอนได้ว่าที่มุม 90 องศา มันสื่อถึง 1 ใน 4 ของวงกลมนะ แต่ถ้าเราแปลงมุมจากองศาให้เป็นหน่วยเรเดียนแล้ว พบว่ามันเท่ากับ π/2 เรเดียนที่สื่อถึง 1 ใน 4 ของวงกลม
อาจเกิดคำถามได้ว่า ทำไมตัวส่วนของมุมเรเดียนคือ 2 แต่ดันแสดงได้แค่ 1/4 ของวงกลม จะมีวิธีไหนที่ทำให้ตัวเลขทั้งสองตำแหน่งนี้เป็นตัวเดียวกันบ้าง และมันจะดีแค่ไหนหากมานิยามกันใหม่เพื่อให้มันสอดคล้องตามที่ควรจะเป็น
ยกตัวอย่างเช่น นิยามค่าใหม่โดยอาจเรียกการหมุน 1 รอบของวงกลมเป็น 1 เทิร์น เพราะฉะนั้น หากบอกว่า 1/4 ของเทิร์น ก็คือ 1/4 ของวงกลมมันจะดีกว่ามั้ย เพราะตำแหน่งในเรเดียนจะได้สอดคล้องกับขนาดของวงกลมที่ตำแหน่งนั้นด้วย*
*ภายหลังมีการใช้สัญลักษณ์ τ (tau) แทนคำว่าเทิร์น ซึ่งมาจากคำกรีกว่า τορνος หรือ lathe โดยมีความสัมพันธ์เมื่อเทียบกับค่าคงที่เดิมคือ τ = 2π
มากกว่านั้นยังมีการแสดงให้เห็นถึงสูตรต่าง ๆ ที่เดิมทีมี π อยู่ในนั้น โดยเกือบทุกสูตรก็มักจะมีเลข 2 พ่วงเข้าไปเสมอ ทำให้ได้ว่าถ้าแทนที่ 2π ด้วย τ มันจะทำให้ expression เหล่านั้นมีความเรียบง่ายและสวยงามมากขึ้น
โชคร้ายที่ฝันของ Bob Palais ในการได้ค่าคงที่ τ ที่สอดคล้องนี้ไม่ได้เป็นที่ยอมรับของคนในวงกว้างที่คุ้นชินกับการใช้ π อยู่แล้ว การเปลี่ยนแปลงนิยามนี้จะทำไปทำไมให้วุ่นวายเปล่า ๆ อีกทั้งเมื่อมีสูตรที่เกี่ยวข้อง หนังสือหลาย ๆ เล่มก็อ้างอิงไปที่ π ได้โดยปราศจากปัญหาใด ๆ เลย แล้วแบบนี้ทำไปเพื่ออะไรอะ งง
π is still wrong!
หากย้อนกลับไปที่จุดเริ่มต้นที่สัดส่วนของวงกลม ด้วยคำนิยามของวงกลมว่าเป็นการรวมกันของจุดที่อยู่ห่างจากจุดอ้างอิงที่ระยะทางเท่ากัน จากคำนิยามดังกล่าว มันสามารถโยงไปสู่ 2 ปริมาณ ได้แก่ จุดที่รวมกันอยู่โดยรอบซึ่งนำมาสู่ความยาวเส้นรอบวง (C) และจุดอ้างอิงหรือจุดศูนย์กลางประกอบกับระยะทางที่เท่ากันก็นำมาสู่แนวคิดของรัศมี (r) คำถามคือมันโอเคแล้วจริง ๆ หรอที่จะอ้างอิงสัดส่วนวงกลมโดยไม่พูดถึงความยาวเส้นรอบวงกับรัศมี แต่เลือกใช้เป็นอัตราส่วนระหว่างเส้นรอบวงกับเส้นผ่านศูนย์กลาง
ทำไมไม่ใช้อัตราส่วนระหว่างเส้นรอบวงกับรัศมีเป็นค่าคงที่ของวงกลม
การย้อนกลับไปโทษว่าเป็นเพราะทักกี้ เอ้ย โทนี่ เอ้ย เป็นเพราะ Archimedes ที่โปรโมตเก่งจนทำให้คนศรัทธากับ π จนปฏิเสธที่จะรับรู้ข้อโต้แย้งนี้ ก็ทำให้เรื่องราวนี้น่าเศร้าอย่างน่าใจหาย โดยสาวกเหล่านี้มักจะหยิบยก 2 ตัวอย่างสุดคลาสสิค นั่นคือ Euler’s identity และสูตรการหาพื้นที่ของวงกลมว่านี่แหล่ะคือเจตจำนงของการดำรงอยู่ของ π
สำหรับ Euler’s identity สิ่งนี้ได้ถูกจัดขึ้นหิ้งไว้ว่าเป็นหนึ่งในสิ่งที่สวยงามที่สุดในคณิตศาสตร์ เพราะว่าเป็นการรวมตัวของ 5 ตัวเลขสำคัญ ได้แก่
- ค่าคงที่ของวงกลม (π)
- จำนวนธรรมชาติ (e)
- จำนวนเชิงซ้อน (i)
- เอกลักษณ์การคูณ (1)
- เอกลักษณ์การบวก (0)
ซึ่งต่อให้ตายยังไงก็ห้ามเปลี่ยน π ในสูตรนี้ ทำ-ไม่-ได้-เด็ด-ขาด! แต่อย่างไรก็ตามความงดงามนี้แท้จริงแล้วเกิดจาก Euler’s formula โดยการแทนค่า x = π และจากนั้นก็ทำการบวก 1 ทั้งสองข้างของสมการ
แต่ถ้าเปลี่ยนมาใช้ค่าคงที่ของวงกลมที่นิยามโดย τ แทนจะตีความได้อีกรูปแบบว่าการหมุนไป 1 τ มีค่าเท่ากับ 1 ซึ่งสอดคล้องกับการบอกว่าให้ 1 turn = 1 τ ในตอนต้นที่พูดถึงการบอกตำแหน่งด้วยเรเดียน
หรือถ้าเกิดอยากให้มีตัวเลขทั้ง 5 ครบอยู่ก็สามารถทำได้เป็น
อีกตัวอย่างคลาสสิคคือสูตรการหาพื้นที่วงกลม A = πr² ความย้อนแย้งเกิดขึ้นตั้งแต่ตัวสูตรแล้ว จากการใช้ π พร้อมกับ r เพราะถ้าเลือกใช้ π นั่นแปลว่าเราได้ให้ความสำคัญกับเส้นผ่านศูนย์กลาง (D) มากกว่ารัศมี (r) เนื่องจาก π เป็นอัตราส่วนระหว่างเส้นรอบวงกับเส้นผ่านศูนย์กลาง แต่ทำไมมาใช้ r² ทำไมไม่ใช้ (D/2)² แทนจะได้เกิดความสม่ำเสมอในการใช้ตัวแปร
มากกว่านั้นหากย้อนไปในเรื่องราวต่าง ๆ ตั้งแต่การหาระยะทางของการปล่อยของจากที่สูงลงมาด้วยความเร่งเนื่องจากแรงโน้มถ่วง ค่าพลังงานศักย์ของสปริง ค่าพลังงานจลน์ของวัตถุที่กำลังเคลื่อนที่ ปริมาณเหล่านี้อยู่ในรูปแบบที่คล้ายคลึงกัน ซึ่งถ้าลองเปลี่ยน π เป็น τ ในสูตรของการหาพื้นที่วงกลมก็จะได้ฟอร์มที่คล้ายคลึงกันเช่นกัน
τ vs π
เป็นเรื่องที่น่าสนใจว่าความสมเหตุสมผลจะเอาชนะความคุ้นเคยไปได้เมื่อไหร่และอย่างไร ในเมื่อปัจจุบันยังไม่เห็นวี่แววความเป็นไปได้ว่าจะเกิดการเปลี่ยนแปลงใด ๆ เพราะถ้ามองดูเผิน ๆ แล้วการใช้ π ก็ไม่ได้สร้างความเดือดร้อนอะไร แล้วจะเปลี่ยนไปเป็น τ ให้มันเป็นปัญหาโดยไม่จำเป็นทำไม
มันเลยกลายเป็นคำถามที่น่าสนใจมากกว่าการเลือกว่าจะใช้ τ หรือ π ว่าเราให้ความสนใจในความจำเป็นที่ต้องเปลี่ยนแปลงมากแค่ไหน
