Minimum point ตอนที่ 1: จุดเริ่มต้นของปาฏิหาริย์
วันก่อนมีเรื่องที่กลายเป็นปมในใจอีกเรื่องตอนไปนำเสนองานแล้วกลายเป็นว่าไม่สามารถอธิบายบางอย่างออกมาให้เข้าใจได้ง่าย ๆ ภายในระยะเวลาที่ตั้งใจไว้ได้เลย ทุกอย่างดูสิ้นหวังและความมั่นใจในการนำเสนอต่อก็พังทลายลงตุ๊บ เลยคิดว่ามันน่าจะมาจากประเด็นของการสื่อสารที่ไม่ค่อยได้ฝึกขัดเกลาเลย ตั้งแต่ช่วงโควิดก็เก็บตัวเองด้วยการ work from home พบปะพูดคุยเฉพาะที่จำเป็นเท่านั้น วันนี้เลยได้โอกาสที่จะเริ่มต้นในการพัฒนาการสื่อสารด้วยการลองเรียบเรียงเรื่องราวผ่านบทความอีกครั้ง
ในบทความของซีรีส์นี้จะพูดถึงเรื่องราวความมหัศจรรย์ของคณิตศาสตร์ที่จะมาช่วยในการหาจุดต่ำสุดของฟังชัน (minimum point) ในเคสต่าง ๆ กันครับ
แต่ก่อนอื่นเลย จุดต่ำสุดคืออะไร
จุดต่ำสุดของฟังก์ชัน หมายถึง จุดที่ทำให้ฟังก์ชันมีค่าต่ำที่สุดในขอบเขตที่เราสนใจ ยกตัวอย่างเช่น มีฟังก์ชัน y = f(x) = x ^ 2 และเราสนใจขอบเขตของค่า x ที่อยู่ระหว่าง -10 ถึง 10 จะได้ว่าที่ค่า x = 0 ทำให้เกิดค่า y = 0 ซึ่งเป็นค่าต่ำที่สุดที่เป็นไปได้ของฟังก์ชันในขอบเขตที่สนใจ แสดงว่าที่จุด (x, y) = (0, 0) คือจุดต่ำสุดของฟังก์ชัน เพราะว่าไม่สามารถหาค่า x อื่น ๆ ในช่วง -10 ถึง 10 ที่จะให้ค่า y ได้น้อยกว่า 0 อีกแล้ว
จริง ๆ แล้วจุดแดง ๆ ในรูปที่ 1 มีหลายชื่อมากแล้วแต่วงการว่าจะเรียกอะไร มีทั้ง extremum point หรือ optimal point ซึ่งเป็นคำกลาง ๆ แบบไม่ได้เจาะจงว่าจุดที่ได้จะเป็นจุดต่ำสุด (minimum point) หรือสูงสุด (maximum point) ซึ่งในบทความนี้จะขอสนใจไปที่จุดต่ำสุดเท่านั้น เพราะว่าถ้าจะหาจุดสูงสุดก็เหมือนกับว่าเราเอา -1 ไปคูณกับฟังก์ชันที่สนใจแล้วหาจุดต่ำสุดของฟังก์ชันใหม่แทนก็จะออกมาเป็นจุดสูงสุดได้เหมือนกัน
อาจมีบางความเข้าใจผิดที่อาจเกิดขึ้นคือถ้าบอกว่า จุดต่ำสุดจะหมายถึงคู่อันดับ (x, y) แต่ถ้าบอกว่า ค่าต่ำสุดจะหมายถึงค่าที่ได้จากฟังก์ชัน หรือก็คือ y นั่นเอง
และมากกว่านั้นเราสามารถเติมคำขยายไปข้างหน้าของคำว่าจุดต่ำสุดได้อีกว่าจุดนั้นเป็นจุดต่ำสุดแบบ local หรือ global ด้วย ซึ่งความแตกต่างของสองคำนี้มีอยู่ที่ว่า
- ถ้าจุดต่ำสุดนั้นมันต่ำสุดแค่ในช่วง ๆ ใดช่วงหนึ่ง จะเรียกว่า local minimum หรือ relative minimum
- ถ้าเป็นการต่ำสุดแบบต่ำสุดทั่วทั้งความเป็นไปได้ทั้งหมดเลยของค่า x ที่สนใจ จะเรียกว่าเป็น global minimum หรือ absolute minimum
ยกตัวอย่างเช่น ถ้าตามตัวอย่างในรูปที่ 2 จุดที่ 1 และจุดที่ 2 จะถูกคิดว่าเป็น local minimum แต่ถ้าพูดถึง global minimum แล้วจะมีเพียงจุดที่ 1 เท่านั้น เพราะเป็นจุดที่ให้ค่าต่ำที่สุดในขอบเขตของค่า x ที่เราสนใจ
ว่าแต่ว่าจะหาจุดต่ำสุดไปทำไมก่อน
มาถึงตรงนี้ก็อาจเกิดคำถามที่ตามติดมาถึงความสำคัญของจุดต่ำสุดว่าทำไมถึงต้องสนใจจุดเหล่านี้ด้วย มันมีดียังไง คือโดยส่วนใหญ่แล้วการหาค่าต่ำสุด (หรือจะสูงสุดก็ตาม) จะถูกนำไปใช้ในการหาค่าที่เหมาะสมที่สุดของอะไรบางอย่าง ยกตัวอย่างเช่น เราได้รับมอบหมายงานหนึ่งมาโดยมีเดดไลน์คือสัปดาห์หน้า ช่วงเวลาที่เหมาะสมที่สุดของการทำงานนั้นอาจสามารถหาได้จากการสร้างฟังก์ชันผลตอบแทนของความสุขหรืออะไรก็ตามที่เรายึดถือ แล้ว optimize ฟังก์ชันตัวนี้จนได้ว่า อ้อ เวลาที่เหมาะสมคือหนึ่งวันก่อนหน้าเดดไลน์นี่เอง เพราะเป็นช่วงเวลาที่ทำให้เกิด productivity สุดจัดในระยะเวลาอันสั้น
พอเรารู้ว่าจุดที่เหมาะสมคืออะไรแล้ว ก็สามารถวางแผนชีวิตต่อไปได้ ว่าอาจจะทำตัวให้ดูเหมือนยุ่งไปก่อนแต่ความจริงคือเพิ่งจะเริ่มมาทำงานจริง ๆ 1 วันก่อนเดดไลน์ (นี่มันสุดยอดเจได บิดาของ time management)
หรือตัวอย่างที่ดูจริงจังมากกว่านั้น อาจจะเป็นการหาค่าของพารามิเตอร์ที่เหมาะสมที่จะนำไปใส่ในโมเดล เพื่อให้สามารถอธิบายความสัมพันธ์ของตัวแปรต้นกับตัวแปรตามแล้วได้ความคลาดเคลื่อนออกมาน้อยที่สุด โดยในตัวอย่างนี้อาจมองค่าของพารามิเตอร์ต่าง ๆ ว่าเป็นตัวแปร x ส่วนฟังก์ชันก็เป็นการคำนวณความคลาดเคลื่อนของโมเดลหลังจากที่ลองใส่พารามิเตอร์ไปแล้ว และค่า y ก็คือความคลาดเคลื่อนที่เกิดขึ้น
การได้มาซึ่งค่าพารามิเตอร์ที่ทำให้โมเดลมีความแม่นยำมาก ๆ ย่อมเป็นผลดี เพราะนั่นหมายความว่าเราสามารถนำโมเดลนั้น ๆ ไปใช้งานได้โดยไม่ต้องกังวลมากนัก ทีนี้ก็ขึ้นอยู่กับกลยุทธ์ในการประยุกต์ใช้ข้อมูลตรงนี้ว่าจะเอาไปใช้ประโยชน์ยังไงต่อไป
แล้วจะหาจุดต่ำสุดได้ยังไง
ทีนี้ สำหรับฟังก์ชันใดฟังก์ชันหนึ่ง เราจะสามารถหาจุดต่ำสุดได้ยังไง จะต้องใช้เครื่องมือทางคณิตศาสตร์ตัวไหนเพื่อเฟ้นหาจุดต่ำสุด ติดตามต่อในบทความนี้นะครับ
