จับของขวัญปีใหม่อย่างไรไม่ให้ได้ของตัวเอง
เข้าช่วงปีใหม่ทีไรก็อดรู้สึกตื่นเต้นไม่ได้เลยจริงๆ ถ้าเป็นแต่ก่อนที่ยังมีเพื่อนมากกว่านี้ เอ้ย! ที่ยังเรียนอยู่ก็ต้องมีงานเลี้ยงปีใหม่ให้จับฉลากของขวัญอยู่ทุกปี ซึ่งเราก็มักจะลุ้นว่าปีนี้จะได้ของขวัญจากใครและอีกใจหนึ่งก็ลุ้นว่าจะได้ของขวัญตัวเองกลับไปหรือเปล่า!
การได้ของขวัญตัวเองกลับไปในงานปีใหม่ถือเป็นเรื่องราวที่น่าเศร้าใจและไม่มีใครอยากให้เกิดขึ้น ซึ่งเท่าที่จำความได้มันอาจไม่ได้เกิดขึ้นบ่อยนัก (แต่สำหรับชีวิตของใครสักคนหนึ่งอาจจะเกิดขึ้นบ่อยจนชินแล้วก็ได้) ถ้ามีใครจับได้ของตัวเองก็ให้จับใหม่หรือไม่ก็ไปแลกกับอีกคนแทน
แต่การบอกว่าบ่อยหรือไม่บ่อยมันเป็นปริมาณขึ้นกับการรับรู้ของแต่ละคน เพราะเราต่างมีนิยามความบ่อยที่ต่างกัน ดังนั้นทางที่ดีก็ควรจะระบุความบ่อยที่เกิดขึ้นออกมาเป็นตัวเลขให้ชัดๆ ไปเลยแล้วใครจะคิดว่าบ่อยหรือไม่บ่อยก็แล้วแต่มุมมองไปแล้วกัน
ในทางคณิตศาสตร์ ก็มีเครื่องมือที่พอจะใช้วัดโอกาสเกิดขึ้นของเหตุการณ์สักเหตุการณ์หนึ่งได้นั่นคือความน่าจะเป็น (probability) ซึ่งคุ้นหูกันเป็นอย่างดีก็คือตัวอย่างการโยนเหรียญทั่วๆ ไปที่โอกาสออกแต่ละหน้าคือ 0.5 ทอยลูกเต๋าทั่วๆ ไป ก็มีโอกาสขึ้นแต่ละหน้าเป็น 1/6 ประมาณนี้
วิธีสุดคลาสสิคในการคำนวณความน่าจะเป็นก็คือการนำเอาจำนวนเหตุการณ์ที่สนใจหารด้วยจำนวนเหตุการณ์ที่มีโอกาสเกิดขึ้นได้ทั้งหมด ซึ่งเราจะใช้สูตรนี้ในการคำนวณโอกาสที่จะไม่มีใครได้ของขวัญตัวเองกลับบ้านจากการจับฉลากตอนปีใหม่
สำหรับแนวคิดในการคำนวณจำนวนเหตุการณ์ดังกล่าวนี้สามารถทำได้โดยการเริ่มคิดจากการมีคนมาจับฉลากน้อยคนแล้วค่อยเพิ่มจำนวนคนไปเรื่อยๆ เพื่อดูความสัมพันธ์ โดยเริ่มจาก 1 คน คือถ้ามี 1 คนมาจับฉลากของขวัญ คำถามคือมีกี่วิธีที่คนๆ นี้จะจับของขวัญแล้วไม่ได้ของตัวเอง
คำถามนี้อาจฟังดูติงต๊องไปหน่อยเพราะมีอยู่คนเดียวจะมาจับไม่ให้ได้ของตัวเองได้ยังไง ดังนั้นแล้วจำนวนวิธีที่จะจับไม่ได้ของตัวเอง (ขอใช้สัญลักษณ์ D(n) แทนข้อความนี้นะโดยที่ n คือจำนวนคน) ก็คือ 0 หรือ D(1) = 0
จากนั้นก็เริ่มขยับมาเป็นว่าถ้ามี 2 คน จะมีวิธีจับของขวัญให้ไม่ได้ของตัวเองกี่วิธี หรือในทางสัญลักษณ์จะได้ว่า D(2) มีค่าเท่าไหร่
เนื่องจากจำนวนคนยังน้อยก็สามารถไล่กรณีทั้งหมดไปได้ ทำให้ได้ว่า D(2) = 1
ต่อมาก็เพิ่มจำนวนคนเป็น 3 คนแล้วซึ่งมีจำนวนวิธีในการสับเปลี่ยนกล่องของขวัญกันได้ทั้งหมด 3! = 6 กรณี แล้วใน 6 กรณีนี้มีกี่วิธีที่ไม่มีใครได้ของตัวเองเลย
หนึ่งในวิธีการหาจำนวนวิธีดังกล่าวเริ่มจากการดูที่ A ว่าของขวัญของ A จะต้องให้ B หรือ C เท่านั้น นั่นคือ 2 วิธี เก็บตัวเลข 2 ไว้ในใจก่อน แล้วมาต่อกันที่การสมมติว่า B จับได้ของของ A (ซึ่งจริงๆ จะเป็นใครก็ได้ที่ไม่ใช่ A จะเป็น C ก็ได้)
ทำให้ได้ว่าของขวัญของ B ก็มีทางเลือกส่งต่อไปได้ 2 ทางแต่ทว่า!!
กรณีแรก: ถ้า A ได้ของขวัญของ B จะกลายเป็นว่า A กับ B เหมือนจะสลับกันเองทำให้ C กลายเป็นส่วนเกินของการจับของขวัญครั้งนี้ เลยสามารถพิจารณากรณีนี้ได้เป็นเหมือนกับว่ามีคนเดียวจับฉลากของขวัญตัวเอง ซึ่งจำนวนวิธีสำหรับกรณีนี้จะมีค่าเท่ากับ D(1) = 0
กรณีสอง: ถ้า A ไม่ได้ของขวัญของ B* ก็จะกลายเป็นว่าเราต้องหาวิธีที่ไม่ให้ A และ C ได้ของขวัญของตัวเอง ซึ่งตอนนี้มันก็จะเหมือนกับว่ามาหาวิธีให้คนสองคนจับของขวัญไม่ได้ของตัวเอง ทำให้มีจำนวนวิธีทั้งหมดสำหรับกรณีนี้เป็น D(2) = 1 วิธี
*แวะโน้ตนิดหนึ่ง เนื่องจากว่าการแบ่งกรณีต้องแบ่งให้แต่ละกรณีไม่ทับซ้อนกัน หรือไม่เกี่ยวข้องกัน (mutually exclusive) เพราะไม่เช่นนั้นเราอาจนับซ้ำได้ และวิธีการที่ง่ายที่สุดก็คือการทำให้เป็นประโยคปฏิเสธไปเลย คำมันเลยอาจจะแปลกๆ ไปหน่อยซึ่งจริงๆ แล้วสามารถใช้คำว่า ถ้า C ได้ของขวัญของ B ก็ได้ เพราะนี่มันแค่ 3 คน
ดังนั้นแล้วจำนวนวิธีทั้งหมดของการที่คนสามคนจะจับฉลากแล้วไม่ได้ของตัวเองก็คือ การเอา 2 ที่เก็บไว้ในใจเมื่อกี๊มาคูณกับผลรวมของสองกรณีย่อย คือ
สำหรับกรณีที่ 4 คนมาจับฉลากของขวัญก็คิดตามแนวคิดนี้เหมือนกัน คือ ของขวัญของ A ก็มีโอกาสแจกจ่ายไปได้ 3 กรณี และเช่นเคยก็เก็บเลข 3 ไว้ในใจก่อน
จากนั้นก็สมมติว่า B ได้ของขวัญของ A แล้วก็แบ่งเป็น 2 กรณีย่อยคือ
กรณีแรก: ถ้า A ได้ของขวัญของ B ทำให้ได้ว่าที่เหลือสองคนก็จะเป็นการจัดของขวัญให้ไม่มีใครได้ของตัวเองนั่นคือ D(2) = 1
กรณีสอง: ถ้า A ไม่ได้ของขวัญของ B ทำให้ได้ว่าเราต้องหาวิธีจัดของขวัญให้ A, C และ D ไม่ได้ของขวัญของตัวเอง หรือนั่นก็คือ D(3) = 2 นั่นเอง
ดังนั้นจำนวนวิธีที่คนสี่คนจะไม่จับได้ของขวัญตัวเองก็คือ
ด้วยแนวคิดนี้เราก็สามารถสรุปได้ว่า สำหรับ n คน ซึ่ง n เป็นจำนวนคนที่จะมีค่าบวกเท่าไหร่ก็ได้ จะมีวิธีที่จะจัดให้แต่ละคนไม่ได้ของขวัญของตัวเองเท่ากับ D(n) ซึ่งคือ
ดูเหมือนว่าเราจะได้สูตรที่ใช้ในการคำนวณการที่จะไม่ได้ของตัวเองแล้ว แต่ว่ามันขึ้นอยู่กับค่าของ D(n-2) และ D(n-1) ซึ่งไม่สะดวกต่อการคำนวณในทางปฏิบัติเอาซะเลย เพราะสมมติว่าต้องการรู้จำนวนวิธีที่คน 100 คนจะไม่มีทางจับของขวัญได้ของตัวเองเลย หรือ D(100) มีค่าเท่าไหร่ เราจะแทนค่าในสูตรนี้เพื่อหาค่า D(100) มาไม่ได้ในทันที เราต้องรู้ค่าของ D(99), D(98), D(97), …, D(2) และ D(1) ในการคำนวณ เราจึงต้องมาพัฒนาสูตรนี้กันต่อให้ง่ายต่อการคำนวณนิดหนึ่ง ซึ่งลองจัดรูปมาก็ได้ว่า
จากนั้นกระจายเทอมของ D(n-1) สักหน่อย เพราะว่า
ทำให้ได้ว่า
ซึ่งอาจพอมองเห็นความสัมพันธ์บางอย่างแล้ว แต่ก็ลองแทน D(n-2) ไปด้วยเหมือนเดิม จากความสัมพันธ์
ทำให้ได้ว่าผลต่างของเทอมดังกล่าวจะอยู่ในรูปของ
ซึ่งเราก็กระจายเทอมของ D ตัวหน้าไปเรื่อยๆ จนกระทั่งถึง D(2) และ D(1) ที่เรารู้ค่าแล้ว ทำให้ได้ว่า
จัดรูปต่ออีกนิดจะได้ว่า
ซึ่งเป็นสูตรที่น่ารักขึ้นมานิดหน่อย แต่ก็ยังไม่ได้ง่ายต่อการคำนวณอยู่ดี เพราะมันยังมีเทอมของ D(n-1) ที่ต้องใช้ในการหาค่าของ D(n) ด้วย ดังนั้นเวลาจะหาค่าต่างๆ ก็ยังจำเป็นที่จะต้องรู้ค่าของ D ที่ n ที่น้อยกว่านั้นด้วย ทำให้เราไปสนใจที่ความสัมพันธ์ของค่าของ D(n) ที่ n ต่างๆ แต่เนื่องจากว่า D(1) = 0 และ D(2) = 1 เลยไปเริ่มสนใจที่ n = 3 เป็นต้นไปแล้วกัน ซึ่งได้ว่า
คิดว่าสามารถจัดรูปเป็นยังไงได้บ้าง ลองมาพิจารณาที่ D(5) กันดูจะได้ว่า
ก็ดูจะสวยขึ้น เพราะเริ่มเห็นความสัมพันธ์ของตัวส่วนว่าจะเป็นแฟคทอเรียลของจำนวนนับที่เพิ่มขึ้นเรื่อยๆ ซึ่งจริงๆ แล้วสูตรนี้ก็ยังเป็นจริงไม่ใช่เฉพาะที่ n = 5 ทำให้ได้ว่า
แต่ถ้าใครรู้จัก Taylor’s series จะรู้สึกคุ้นตามากกับเทอมที่บวกกันอยู่ในวงเล็บ เพราะว่ามันมีตัวฮิตๆ ที่คล้ายๆ กับเทอมดังกล่าวอยู่ก็คือ
ซึ่งถ้าแทน x = -1 ไปก็เกือบจะได้เทอมที่อยู่ในวงเล็บเลย เว้นเสียแต่ว่าค่ามันต้องบวกไปอินฟินิตี้ตัว เพราะฉะนั้นเราอาจทำเป็นค่าประมาณได้ว่า ถ้า n มีค่ามากๆ เราสามารถคำนวณ D(n) ง่ายๆ ด้วยสูตรดังต่อไปนี้
เพราะฉะนั้นแล้วถ้าอยากรู้ค่าของ D(100) เราก็สามารถประมาณค่าด้วยความไวได้ว่ามันมีค่าเท่ากับ 100!/e โดยที่ e เป็นตัวเลขสุดพิเศษชื่อว่า natural number ที่มีค่าอยู่ที่ราวๆ 2.7183
มาถึงตรงนี้ อาจจะลืมไปแล้วว่าเรากำลังทำอะไรกันอยู่ ขอเตือนความจำกันอีกรอบคือเรากำลังหาโอกาสที่จะไม่มีใครได้จับฉลากได้ของขวัญตัวเองกลับบ้านไปเลย ซึ่งเราก็ได้คำนวณจำนวนของเหตุการณ์ที่สนใจไปแล้ว สำหรับจำนวนเหตุการณ์ทั้งหมดจะคำนวณง่ายกว่ามาก เพราะถ้ามี n คน เราก็สามารถจัดเรียงกันแบบไม่มีเงื่อนไขอะไรเลยได้ n! วิธี ดังนั้นความน่าจะเป็นหรือโอกาสที่ไม่มีใครได้ของขวัญตัวเองจะมีค่าประมาณ 37% เมื่อมีจำนวนคนจับของขวัญมากๆ
ซึ่งตัวเลขนี้ดันบังเอิญไปเท่ากับโอกาสที่เราจะเจอเนื้อคู่อีกด้วย!! (ตามอ่านได้ที่ลิงค์นี้ครับ) ต้องออกตัวก่อนว่าที่โยงไปเรื่องนี้ไม่ได้ตั้งใจจะตอกย้ำความโสดของใคร เพียงแต่ e หรือ natural number มันไปโผล่แทบทุกที่ในคณิตศาสตร์เลย
ปล. วิธีการจัดเรียงในรูปแบบที่ไม่ให้ตัวเองได้ของตัวเองแบบนี้ถูกเรียกว่า derangement และในการ derange ของ n อย่าง สามารถใช้สัญลักษณ์ !n ที่คล้ายๆ กับแฟคทอเรียลในการจัดเรียง (arrange) ของ n อย่างเลย แต่เอาเครื่องหมายตกใจมาไว้ข้างหน้าแทน
ปลล. ถึงแม้ปีที่กำลังจะผ่านไปมันจะดีหรือแย่ก็ตามแต่มันก็ยังมีปีที่จะถึงที่เราไม่รู้เลยว่าจะมีเรื่องราวที่น่าสนใจเกิดขึ้นอีกมากน้อยแค่ไหน ขอให้ปีที่จะถึงนี้เป็นปีที่ดีสำหรับทุกคนนะครับ
