คณิตศาสตร์สำหรับการหาระยะทางที่สั้นที่สุด

ไม่รู้ว่าใครเป็นเหมือนกันมั้ยเวลาไปไหนมาไหนก็มักจะเลือกใช้เส้นทางที่สั้นที่สุดเพื่อให้ไปถึงที่หมายไวที่สุด แนวคิดนี้อาจไม่ค่อยถูกใจนักเดินทางที่ซาบซึ้งกับบรรยากาศระหว่างทางเท่าไหร่ แต่สำหรับคนขี้เกียจอย่างผมแล้วถือว่าใช่เลย สมมติเพื่อให้เห็นภาพคร่าวๆ ว่าตอนนี้เรากำลังยืนอยู่ที่จุด A ซึ่งเป็นมุมหนึ่งของรูปสี่เหลี่ยม ABCD ถ้าเราต้องการจะไปยังจุด C ซึ่งเป็นจุดที่อยู่ตรงข้ามของจุด A มันก็จะมีเส้นทางให้เรามากมายไม่ว่าจะเดินตามเส้นรอบรูปของรูปสี่เหลี่ยมผ่านจุด B หรือ D ไปก่อนและไปยังจุด C ในท้ายที่สุด หรือเดินไปเรื่อยเปื่อยจนสุดท้ายไปยังจุด C เอง แต่อย่างไรก็ตามสำหรับระยะทางที่สั้นที่สุดในตัวอย่างนี้จะเป็นเส้นทางที่เกิดจากเส้นตรงที่เชื่อมจุด A และ C ไว้หรือก็คือเส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมนั่นเอง

แนวคิดในการหาความเป็น “ที่สุด” มีความสำคัญมากในทางคณิตศาสตร์ หรือจริงๆ แล้วคือในธรรมชาติเลยก็ว่าได้ อย่างที่นักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศส Pierre Louis Maupertuis กล่าวไว้ว่า “Nature always uses the simplest means to accomplish its effects.”

และเมื่อนำสัญลักษณ์และแนวคิดทางคณิตศาสตร์เข้ามาจับกับปัญหาความเป็นที่สุดนี้ก็จะกลายเป็นสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์ที่มีชื่อเรียกว่า Calculus of variations และเรียกปัญหานี้รวมๆ กันว่า Variational problems

สำหรับการหาเส้นทางที่สั้นที่สุดนั้น องค์ประกอบสำคัญในการหาเส้นทางดังกล่าวนั้นก็คือตำแหน่งปัจจุบันและตำแหน่งของที่ๆ จะไปเหมือนตอนเสิร์ชเส้นทางใน google maps เลย แต่ว่าในทางคณิตศาสตร์ที่มีความเป็นทั่วไปมากกว่านั้น เราต้องกำหนดลักษณะของ geometry ของปัญหาไว้ด้วย อย่างเช่นตัวอย่างการเดินทางของสี่เหลี่ยม ABCD ที่กล่าวไปข้างต้นที่ระยะทางที่สั้นที่สุดก็คือเส้นตรงนั้นจะเป็นปัญหาบนพิกัดฉาก 2 มิติหรือเรียกให้หรูได้อีกนิดว่า Euclidean space ซึ่งมันสามารถขยายเป็น 3 มิติได้เช่นกันและจะเป็นสิ่งที่ใกล้เคียงชีวิตประจำวันและใกล้ตัวมากที่สุดนั่นเอง

ทั้งนี้ใน variaional problem ก็ยังสามารถเพิ่มลูกเล่นต่างๆ เข้าไปได้อีกมากมายเช่น การพิจารณาเส้นทางที่ใช้เวลาสั้นที่สุดในการเคลื่อนที่ของวัตถุจากจุดหนึ่งไปยังอีกจุดหนึ่งด้วยผลจากความเร่งเนื่องจากแรงโน้มถ่วง (Brachistochrone problem) ซึ่งถ้าตามเข้าไปอ่านต่อดูจะพบผลที่น่าสนใจว่าระยะทางที่เราคิดว่าก็น่าจะเป็นเส้นตรงไม่ใช่หรอ (spoiler alert!!:: ปรากฏว่าเส้นทางดังกล่าวไม่ใช่เส้นตรงครับ แต่จะเป็นอะไรต้องเข้าไปอ่านต่อดูครับ)

และถ้าจะดึงความสนใจมาในเรื่องที่ใกล้ตัวกว่านั้นก็คือการเส้นทางการบินของเครื่องบินจากจุดหนึ่งไปยังอีกจุดหนึ่ง เพื่อประหยัดเชื้อเพลิงซึ่งจะสื่อถึงผลประกอบการที่มากขึ้นของสายการบิน แน่นอนว่าถ้าเป็นไปได้ก็อยากจะให้เครื่องบินเลือกใช้เส้นทางที่สั้นที่สุด แต่ว่าเส้นทางที่สั้นที่สุดบนพื้นผิวโลกที่ถูกประมาณว่าเป็นทรงกลม (ขอใช้เป็นทรงกลมแทนระนาบนะครับ :) ) นั้นก็ไม่ใช่เส้นตรงอีกต่อไปอย่างแน่นอน เพราะเราไม่สามารถบินทะลุพื้นโลกแล้วไปโผล่ที่เป้าหมายเราได้นะครับ 555 แต่มันจะคืออะไรสามารถอ่านเพิ่มเติมได้ที่นี่

ระยะทางที่สั้นที่สุดบนพื้นผิวโลก (ทรงกลม)

ปล. ผมลองปรับลักษณะของเนื้อหาให้ไม่มีสัญลักษณ์คณิตศาสตร์ที่ชวนปวดหัวออกไปนะครับ แต่ถ้าใครไม่ถูกใจ สามารถเข้าไปชมความสวยงามของคณิตศาสตร์สำหรับระยะทางที่สั้นที่สุดได้ที่ลิงค์นี้และลิงค์นี้ครับ

ปล. อีกทีครับ ระยะทางที่สั้นที่สุดอาจเรียกว่า shortest path ก็ได้อยู่ แต่ว่ามันมีคำที่เท่มากกว่านั้น (ใช้ได้กับทุกรูปทรง) ว่า geodesic ครับ