นับผลการเลือกตั้งยังไงให้คะแนนนำอีกฝ่ายเสมอ

4 min readJun 9, 2019

ก็เป็นที่รู้โดยทั่วกันถึงท่าทีของแต่ละพรรค ทำให้การโหวตเลือกนายกจาก ส.ส. และ ส.ว. ครั้งนี้ไม่ค่อยมีอะไรให้ประหลาดใจเท่าไหร่ (เว้นเสียแต่การขานชื่อและนามสกุลของแคนดิเดตผิดแบบรัวๆ) เพราะด้วยพลังจาก ส.ว. ที่ตุนไว้ 250 คะแนน ทำให้ยังไงลุงก็นอนมาเห็นๆ อยู่แล้ว ไม่ต้องเสียเวลาลุ้นแต่อย่างใด การตั้งคำถามว่าใครจะได้เป็นนายกจึงอาจจะไม่ได้น่าสนใจเท่ากับการถามว่าตอนที่นับคะแนน คะแนนของลุงจะมากกว่าคะแนนของแคนดิเดตอีกคนตลอดทั้งการนับคะแนนหรือเปล่า

เพื่อให้เห็นภาพ ขอยกตัวอย่างว่ามีคนมาโหวตแค่ 5 คนก่อน โดยสมมติว่ามี 3 คนโหวตให้ลุง (แทนว่า A) และมี 2 คนโหวตให้แคนดิเดตอีกคน (แทนว่า B) ซึ่งเราไม่รู้ว่าในตอนนับคะแนน ลำดับของการขานชื่อ A หรือ B จากทั้ง 5 คนที่มาโหวตนี้เป็นยังไง บางทีอาจมาเป็น A 3 ชื่อแรกแล้วค่อยต่อด้วย B อีก 2 คะแนนสุดท้าย หรือบางทีอาจจะมาแบบสลับกันเป็น ABABA ก็เป็นได้

สิ่งที่เราสนใจในลำดับพวกนี้คือจำนวน A ในลำดับเมื่อค่อยๆ มองจากซ้ายไปขวาต้องมีมากกว่าจำนวนของ B เสมอ เช่น ในกรณีของ AAABB สังเกตว่าสามคะแนนแรกก็เทไปให้ A ทำให้คะแนน A ต่อ B เป็น 3 ต่อ 0 และในอีกสองคะแนนที่เหลือถึงแม้จะให้ B แต่ A ก็มีคะแนนมากกว่า B ตลอดทั้งการนับคะแนน ซึ่งนี่ก็คือรูปแบบที่สอดคล้องกับปัญหาที่สนใจ

แต่ถ้าเป็นกรณีของ ABABA คะแนนของ A จะเท่ากับคะแนนของ B ในบางช่วงของการนับคะแนน ทำให้ไม่สอดคล้องกับเงื่อนไขที่ต้องการ เพราะเงื่อนไขคือ A ต้องมีคะแนนมากกว่า B เสมอ

คำถามคือจะหารูปแบบที่มันสอดคล้องนี้ได้ยังไง โดยในเบื้องต้น ขอเสนอวิธีการที่ง่ายที่สุดคือการหารูปแบบทั้งหมดของการนับผลคะแนนที่ให้ A 3 เสียงและ B 2 เสียง แล้วค่อยดูไปทีละรูปแบบว่ามีแบบไหนสอดคล้องบ้าง แต่การหาจำนวนรูปแบบที่แตกต่างกันทั้งหมดของการสลับเรียงไปมาของ A 3 ตัว และ B 2 แท้จริงแล้วมันก็คือการนับ permutation เหมือนกับตอนเรียนความน่าจะเป็น ม.ปลาย ซึ่งถ้ายังพอคุ้นๆ มันก็คือการจัดเรียงของที่ซ้ำกัน 2 ประเภท โดยประเภทแรก (A) มี 3 ชิ้น และอีกประเภท (B) มี 2 ชิ้น ทำให้สามารถคำนวณรูปแบบทั้งหมดที่แตกต่างกันของได้ ดังนี้

สำหรับใครที่ไม่คุ้นเคยกับวิธีด้านบนก็สามารถใช้วิธีพื้นบ้านโดยการนั่งไล่หาทุกกรณี แต่ก็ต้องไล่แบบเป็นระบบด้วย ไม่เช่นนั้นจะไม่รู้ว่ามันครบทุกแบบแล้วหรือยัง ซึ่งก็จะได้ 10 กรณีเช่นกัน

แต่พอมาเช็คดูทั้ง 10 รูปแบบนี้ในการที่จะมี A มากกว่า B เสมอนั้นต้องสอดคล้องกับเงื่อนไขต่อไปนี้

1. รูปแบบนั้นต้องขึ้นต้นด้วย A เพื่อจะได้มีคะแนนนำไปก่อน 1 แต้ม (ที่ขีดออกคือรูปแบบที่ขึ้นต้นด้วย B)

2. ก่อนจะเจอ B สักตัว ต้องมี A อย่างน้อย 2 ตัวอยู่ก่อนแล้ว เพื่อจะได้ไม่ให้คะแนนเท่ากัน (B ที่อยู่ในช่องสี่เหลี่ยมคือตัวที่ทำให้คะแนนเท่ากัน ซึ่งต้องตัดออก)

ดังนั้น เหลือเพียง 2 รูปแบบที่สอดคล้อง นั่นคือ AAABB และ AABAB ซึ่งถ้ามองในภาพของสัดส่วนเมื่อเทียบกับจำนวนรูปแบบทั้งหมดหรือความน่าจะเป็นที่จะเกิดเหตุการณ์นี้ก็จะเท่ากับ 2/10 = 0.2

แต่ถ้าจะใช้วิธีนี้ในการคำนวณผลเลือกตั้งนายกที่มีทั้งหมด 747 คะแนน คงต้องนั่งนับกันตาแฉะ และเอาจริงแล้วถ้า Joseph Bertrand มาเห็นคงต้องเบะปากแล้วบอกว่า “คือนี่ตอบไว้ตั้งแต่ปี ค.ศ. 1878 แล้วไม่ใช่หรอ ลองไปเสิร์ชดูว่า Bertrand’s ballot theorem สิ”

ในการใช้งาน Bertrand’s ballot theorem ต้องสมมติก่อนว่าแคนดิเดต A ได้ p คะแนนและแคนดิเดต B ได้ q คะแนน โดยที่ p > q แล้วได้ว่าความน่าจะเป็นที่คะแนนของ A จะมากกว่า B ตลอดทั้งการนับคะแนนจะคำนวณได้จากสูตรน่ารักๆ ดังนี้

สาเหตุที่ต้องให้ p > q เพราะป้องกันไม่ให้ความน่าจะมีค่าเป็นติดลบ

ถ้าแทนจากตัวอย่างข้างต้นนี้ก็คือ A ได้ p = 3 คะแนน และ B ได้ q = 2 คะแนน ดังนั้นความน่าจะเป็นที่คะแนนของ A จะมากกว่าคะแนนของ B เสมอจนกระทั่งการนับคะแนนสิ้นสุด คือ

ซึ่งให้ผลลัพธ์เดียวกันกับที่คำนวณไว้ด้านบน แต่ข้อดีคือไม่ต้องเสียเวลานับอะไรให้วุ่นวายเลย (บทพิสูจน์อยู่ด้านล่าง)

ทีนี้เลยอยากลองของว่าในกรณีของการเลือกนายกจากแคนดิเดตทั้งสองคน โดยเราก็มีคะแนนคร่าวๆ ของทั้งสองฝ่ายว่าลุงน่าจะได้ประมาณ 502 คะแนนและแคนดิเดตอีกคนน่าจะได้ประมาณ 245 คะแนน ดังนั้นความน่าจะเป็นที่ลุงจะได้คะแนนมากกว่าเสมอตลอดทั้งการนับคะแนน คือ

หรือตีความได้ว่ามีโอกาส 34.4% ที่คะแนนที่คนในสภาโหวตลุงเป็นนายกจะได้มากกว่าเสมอ แต่ถ้าใครได้ดู live ในคืนนั้นหรือมาตามข่าวก็จะบอกได้ทันทีว่าไม่จริงเลย เพราะคะแนนแรกไม่ได้เลือกลุง ทำให้ลุงโดนนำไปก่อน 1 แต้ม และคะแนนไปเท่ากันตอนช่วงแรกอีก แต่นั่นก็ไม่ได้หมายความว่าทฤษฎีนี้ผิดแต่อย่างใด เพียงแต่ผลลัพธ์ที่ได้จากทฤษฎีนี้ถึงแม้ว่าจะอยู่ในรูปที่สวยงามอย่างสัดส่วนของผลต่างกับผลบวกของจำนวนโหวต แต่มันสื่อถึงค่าความน่าจะเป็นที่บอกถึงความเป็นไปได้ของเหตุการณ์ที่สนใจจะเกิดขึ้นเท่านั้น

อย่างไรก็แล้วแต่ต้องขอแสดงความยินดีกับพี่น้องชาวไทยที่ในที่สุดก็มีนายกที่มาจากการเลือกตั้งสักที ถึงแม้ว่าการเลือกตั้งในครั้งนี้จะถูกมองว่าเป็นการเลือกตั้งที่สกปรกที่สุดก็ตาม :)

ปล. สามารถอ่านบทความคณิตศาสตร์อื่นๆ ได้ที่ Almost Everywhere ครับ

บทพิสูจน์ Bertrand’s ballot theorem

สมมติว่าแคนดิเดต A ได้ p คะแนนและแคนดิเดต B ได้ q คะแนน โดยที่ p > q แสดงว่าจำนวนโหวตทั้งหมดคือ p + q จากนั้นมองว่าเป็นการจัดเรียงของที่เหมือนกัน p + q ชิ้น โดยมี p และ q ชิ้นที่เหมือนกัน ซึ่งสามารถจัดเรียงได้ทั้งหมด เท่ากับ

แต่ในจำนวนการจัดเรียงนี้ ไม่ใช่ทั้งหมดที่สอดคล้องกับสิ่งที่สนใจ เพราะต้องเป็นรูปแบบที่สอดคล้องกับเงื่อนไขต่อไปนี้

รูปแบบนั้นต้องขึ้นต้นด้วย A เพื่อจะได้มีคะแนนนำไปก่อน 1 แต้ม (เพื่อให้ A ได้คะแนนนำไปก่อน)
ก่อนจะเจอ B สักตัว ต้องมี A อย่างน้อย 2 ตัวอยู่ก่อนแล้ว หรือถ้าให้รัดกุมกว่านั้นคือ ก่อนจะเจอ B n ตัว ต้องมี A อย่างน้อย n+1 ตัวอยู่ก่อนแล้ว (เพื่อไม่ให้คะแนนเท่ากันระหว่างที่นับคะแนน)

วิธีการคือจะคิดกรณีที่มันไม่ได้สอดคล้องกับทั้งสองกรณีนี้ แล้วค่อยนำไปลบกับจำนวนรูปแบบทั้งหมดที่ได้คำนวณไว้แล้ว เพื่อให้เหลือแต่รูปแบบที่มันสอดคล้องกับเงื่อนไข

1. ในการที่จะฝ่าฝืนเงื่อนไขข้อแรก ก็จะสนใจไปที่รูปแบบที่ขึ้นต้นด้วย B แทน ซึ่งสามารถคำนวณได้โดยการกำหนดให้ผลโหวตแรกต้องเป็น B แล้วที่เหลือจะเป็นอะไรก็ได้ นั่นคือแทนที่จะมีผลโหวตทั้งหมด p + q โหวต ตอนนี้ก็มองว่ามันเหลือแค่ p + q - 1 โหวต (เพราะตัด B ตัวเริ่มไปแล้ว) จากนั้นก็จัดเรียงของที่เหมือนกัน p + q - 1 ชิ้น โดยที่ของที่เหมือนกันมีอยู่ p และ q - 1 ชิ้น นั่นคือ

2. ในการทำให้เงื่อนไขที่ 2 พัง คือการสนใจกรณีที่รูปแบบผลคะแนนเริ่มต้นด้วย A แต่หลังจากนั้นมันจะมีจำนวน B เท่ากับ A ที่จุดใดจุดหนึ่งของการนับคะแนน ตรงนี้จะใช้ทริคนิดหน่อย คือการแปลงรูปแบบพวกนี้ โดยถ้าเจอผลคะแนน B ที่ทำให้เกิดคะแนนเท่ากันแล้ว ให้ย้าย B ตัวนั้น (สีดำ) มาเป็นตัวเริ่มต้น พร้อมกับนำผลคะแนนที่ตามมาทั้งหมด (สีฟ้า) มาต่อท้าย จากนั้นนำผลคะแนนทั้งหมดก่อนที่จะเจอ B ตัวนั้น (สีม่วง) มาต่อท้าย