มากแค่ไหนถึงเรียกอินฟินิตี้

หลังจากที่มีการนิยามความเป็นอินฟินิตี้ในรูปแบบของเซต การแบ่งแยกความเป็นอินฟินิตี้ว่าเป็น potential หรือ actual ก็ไม่ได้เป็นประเด็นอีกต่อไป เพราะว่า potential infinity แท้จริงแล้วก็มาจาก actual infinity ดังนั้นในทางคณิตศาสตร์จะสนใจไปที่ actual infinity มากกว่า จนทำให้การพูดถึงอินฟินิตี้โดยที่ไม่ระบุอะไรจะสื่อถึงความเป็นอินฟินิตี้ในรูปแบบของ actual infinity ไปเลย (โถ่ น่าสงสาร potential infinity ที่ตอนนี้กลายเป็นหมาหัวเน่าไปแล้ว)

แต่อย่างไรก็ตามความลึกลับของอินฟินิตี้ก็ยังไม่จบสิ้น เพราะเรายังไม่รู้และยังมีความพยายามที่จะหา “ขนาด” ของความเป็นอินฟินิตี้นี้อยู่ และจากความสำเร็จในการนิยามอินฟินิตี้ใหม่ด้วย set theory เลยกลายเป็นว่าช่วงหลังจากนั้นเป็นต้นมา มีอะไรก็จับยัดเข้าไปในเซต (set) หมดแล้ว ซึ่งสำหรับกรณีนี้ก็จะมองอินฟินิตี้ในรูปแบบของเซต โดยจะเรียกว่า infinite set หรือชื่อไทยคือเซตอนันต์ และสำหรับเซตทั่วๆ ไปที่ไม่ใช่ infinite set จะเรียกว่าเซตจำกัด หรือ finite set

ด้วยภาพจำว่าอินฟินิตี้จะสื่อถึงความมากแบบไม่มีที่สิ้นสุด ทำให้รู้สึกว่าขนาดของ finite set ต้องน้อยกว่า infinite set อย่างแน่นอน แต่ในคณิตศาสตร์เราไม่สามารถพิสูจน์ทฤษฎีหรือข้อความใดๆ กันด้วยอารมณ์หรือความรู้สึก เพราะฉะนั้นแล้วจึงจำเป็นที่จะต้องนิยามทุกอย่างให้รัดกุมและถูกต้องตามหลักการให้เหตุผล แต่เนื่องจากตอนนี้เราได้เปลี่ยนทุกอย่างไปเป็นภาษาของเซตแล้ว คำว่า “ขนาด” ก็ควรจะมองในรูปแบบของเซตด้วยเช่นกัน

คำถามคือขนาดของเซตควรสื่อจากอะไรดี

ความเป็นไปได้ที่สมเหตุสมผลที่สุดก็น่าจะเป็นจำนวนสมาชิกในเซตนั้นนั่นแหล่ะที่จะสื่อถึงขนาดของเซต ซึ่งมีชื่อเรียกเท่ๆ ว่า cardinality และจะใช้สัญลักษณ์ |A| หรือ card(A) แทนข้อความว่าขนาดของเซต A หรือก็คือจำนวนสมาชิกของเซต A หรือให้ดูหรูกว่านั้นก็คือ cardinality ของเซต A ก็ได้

เพื่อให้เห็นภาพ สมมติว่ามี finite set อยู่ ซึ่งคือ A= {a, b, c} ถ้าเรามองด้วยตาเปล่าก็จะบอกได้ทันทีว่าสมาชิกของ A มีอยู่ 3 ตัว หรือก็คือ cardinality ของ A เท่ากับ 3 แต่ทั้งนี้เราไม่ควรใช้การนับไล่ไปทีละตัวแบบนี้ในการหา cardinality ของเซต เพราะว่าเราต้องการให้แนวคิดของ cardinality ยังสามารถใช้งานได้กับ infinite set ที่ไม่สามารถไล่นับไปทีละตัวได้ด้วย (เนื่องจากจำนวนสมาชิกของ infinite set มันมีไม่จำกัดเลย ถ้าให้นับจริงคงเหนื่อยแย่)

สำหรับวิธีในการนับแบบใหม่นี้จะใช้การจับคู่กันแทน เหมือนกับว่าจำนวนนิ้วมือทั้งสองข้างของเรามีจำนวนเท่ากัน ไม่ใช่เพราะว่าเรานับแต่ละข้างได้ 5 นิ้วเท่ากัน แต่เป็นเพราะเราสามารถนำปลายนิ้วมือทั้งสองข้างมาประกบกัน (จับคู่กัน) ได้ครบทุกคู่นิ้วพอดี ดังนั้นเลยสรุปได้ว่าขนาดของสองเซตใดๆ จะเท่ากันก็ต่อเมื่อเราสามารถหาการจับคู่ได้

แต่การหาตัวจับคู่ (mapping) นั้น ไม่ใช่จะเป็นตัวจับคู่อะไรก็ได้ มันต้องมีคุณสมบัติพิเศษเพื่อการันตีว่าพอได้การจับคู่แบบนี้แล้วจะสามารถสรุปต่อไปในทันทีได้ว่า 2 เซตที่สนใจมีขนาดเท่ากัน ซึ่งเงื่อนไขของตัวจับคู่นี้ก็คือ

1. ต้องมีการระบุทิศทางการจับคู่ด้วย สมมติว่าเป็นการจับคู่เซต A กับ B ต้องเลือกว่าจะให้จับคู่จากเซตไหนไปยังเซตไหน ซึ่งก็มี 2 ทางเลือกว่าจะจับคู่จากเซต A ไปยังเซต B หรือจะจับคู่จากเซต B ไปยังเซต A และการจับคู่นี้มีเงื่อนไขตั้งต้นว่าถ้าจับคู่ตัวที่เหมือนกันก็ต้องได้ค่าที่เท่ากันด้วย ซึ่งเงื่อนไขนี้เรียกว่า well-defined function (จริงๆ แล้วตัวจับคู่นั่นแหล่ะคือฟังก์ชัน)
2. ต้องจับคู่โดยใช้ทุกตัวจากเซตตั้งต้น สมมติว่าเลือกที่จะจับคู่จากเซต A ไปยังเซต B นั่นหมายความว่าจะต้องใช้สมาชิกทุกตัวของเซต A ในการจับคู่ และสมาชิกที่ต่างกันในเซต A ต้องถูกจับคู่ไปยังสมาชิกที่แตกต่างกันในเซต B ด้วย ถ้าการจับคู่เป็นไปในลักษณะนี้จะเรียกว่า injection หรือ injective mapping หรือ one-to-one function (มีหลายชื่อมาก เรียกแล้วแต่ชอบเลย)

• การจับคู่ใน (i) ไม่เป็น injection เพราะมีสมาชิกใน A เหลืออยู่
• การจับคู่ใน (ii) ก็ไม่เป็น injection เพราะว่าสมาชิกที่แตกต่างกันใน A ดันถูกจับคู่ไปยังสมาชิกตัวเดียวกันใน B
• การจับคู่ใน (iii) เป็น injection เพราะว่าสอดคล้องเงื่อนไขหมดเลย นั่นคือใช้สมาชิกใน A ครบ และสมาชิกแต่ละตัวถูกจับคู่ไปยังสมาชิกใน B ที่ไม่ซ้ำกันเลย

3. เนื่องจากการที่ตัวจับคู่เป็น injection ไม่ได้การันตีว่าสมาชิกทุกตัวของเซต B จะถูกจับคู่ไปหมดทุกตัว ดังนั้นเลยต้องเพิ่มเงื่อนไขนี้ไปว่าการจับคู่นี้ต้องใช้สมาชิกทุกตัวของ B เช่นกัน นั่นหมายความว่า ทุกสมาชิกของ B จะต้องมีสมาชิกใน A ที่เข้าคู่กัน และจะเรียกคุณสมบัตินี้ว่า surjection หรือ surjective mapping หรือ onto function

แต่ในกรณีนี้เราไม่สามารถสร้างการจับคู่ที่เป็น surjection ได้ เพราะถ้าเราพยายามสร้างการจับคู่เพื่อให้ใช้สมาชิกในเซต B ครบทุกตัวจะเป็นการขัดกับเงื่อนไขการเป็น well-defined ของการจับคู่ในข้อที่ 1 เพราะในกรณีนี้การจับคู่ของ b จะนำไปสู่ค่าที่แตกต่างกันสองค่านั่นคือ 2 และ 3 ดังนั้นสิ่งที่ดีที่สุดสำหรับกรณีนี้คือการสร้างตัวจับคู่ที่เป็น injection เท่านั้น

สำหรับตัวจับคู่ ถ้ามันสอดคล้องกับเงื่อนไขทั้งสามข้อนี้เลย จะเรียกตัวจับคู่นั้นว่า bijection หรือ bijective function หรือ one-to-one correspondence และเราสามารถสรุปได้ทันทีเลยว่าขนาดของทั้งสองเซตที่กำลังพิจารณาอยู่นั้นมีขนาดเท่ากัน หรือ cardinality ของทั้งสองเซตนั้นมีขนาดเท่ากัน ยกตัวอย่างเช่น การบอกว่านิ้วมือทั้งสองข้างของเรามีจำนวนเท่ากัน เพราะว่าสามารถหาตัวจับคู่ที่เป็น bijection ได้ (หนึ่งในนั้นก็คือการจับคู่แต่ละนิ้วของมือซ้ายกับนิ้วชนิดเดียวกันของมือขวา) ดังนั้นจะบอกได้ว่าจำนวนนิ้วมือข้างซ้ายเท่ากับนิ้วมือข้างขวา (โดยการมองนิ้วมือซ้ายและขวาเป็นเซต)

เพื่อความรัดกุมในการพูดถึงขนาดของเซต สามารถสรุปการเปรียบเทียบขนาดของสองเซตใดๆ โดยสมมติว่าเป็น A และ B ได้ดังนี้

1. |A|=|B| ก็ต่อเมื่อสามารถหาตัวจับคู่ที่เป็น bijection ได้
2. |A|≤|B| ก็ต่อเมื่อสามารถหาตัวจับคู่ที่เป็น injection ได้
3. |A|<|B| ก็ต่อเมื่อสามารถหาตัวจับคู่ที่เป็น injection แต่ไม่เป็น surjection ได้

เพื่อความสวยงามและความคล่องตัวขอแทนขนาดของเซต A ด้วย |A|

นั่นหมายความว่าถ้าเราสามารถหา injection ระหว่างเซต A และ B ได้ ก็สรุปไปก่อนเลยว่า |A|≤|B| แต่ถ้าสามารถบอกได้ว่าตัวจับคู่นั้นเป็น surjection ด้วยก็จะสรุปได้ว่า |A|=|B| แต่ถ้ามันไม่ได้เป็น surjection จะกลายเป็นว่า |A|<|B| (สามารถตัดกรณีที่ขนาดเท่ากันออกได้เลย เพราะการที่หา surjection ไม่ได้หมายถึงการที่จะมีสมาชิกเหลือใน B ที่ไม่ได้ถูกจับคู่มา นั่นคือขนาดของ B ต้องมากกว่า A อย่างแน่นอน)

ดังนั้นสำหรับตัวอย่างในรูปด้านบนที่มี A = {a, b, c} และ B = {1, 2, 3, 4} เราสามารถสร้างตัวจับคู่ที่เป็น injection จาก A ไปยัง B ได้ แต่เราไม่สามารถหา surjection ได้ ดังนั้นจะสรุปได้ว่า |A|<|B|

แต่..แต่วิธีการนี้เป็นการเปรียบเทียบขนาดหรือ cardinality ระหว่างสองเซตใดๆ มันยังไม่สามารถบอกได้ว่า เซต A จริงๆ แล้วมีขนาดเท่ากับ 3 หรือเซต B มีขนาดเท่ากับ 4 แต่นั่นก็ไม่ใช่ปัญหาซะทีเดียว เพราะ Cantor ได้เสนอว่าถ้าอยากรู้ขนาดของ finite set ใดๆ ก็สามารถทำได้โดยการหาตัวจับคู่ที่เป็น bijection ระหว่างเซตนั้นๆ กับเซต {1, 2, 3, 4, 5, …, n} สิ ถ้าหาเจอก็บอกได้ว่าขนาดของเซตนั้นๆ เท่ากับ n ได้เลย และในทางตรงกันข้ามถ้าไม่มี bijection ระหว่างกันเลยก็จะสรุปได้ว่าขนาดของเซตนั้นไม่ได้เท่ากับ n (ก็ใช้คุณสมบัติของการเปรียบเทียบขนาดจากการสร้าง bijection ระหว่างเซตอยู่ดี แต่แค่คราวนี้เรามีเซต {1, 2, 3, 4, 5, …, n} ไว้เปรียบเทียบแล้ว)

ดังนั้นสาเหตุที่ A = {a, b, c} มีขนาดเท่ากับ 3 หรือ |A|=3 เพราะว่าเราสามารถหา bijection จาก A ไปยัง {1, 2, 3} ได้ ดังรูปต่อนี้

และในทำนองเดียวกันกับที่ B = {1, 2, 3, 4} มีขนาดเท่ากับ 4 หรือ |B|=4 เพราะว่าเราสามารถสร้าง bijection จาก B ไปยัง {1, 2, 3, 4} ได้ดังนี้

ทุกอย่างดูเหมือนจะเป็น happy ending แต่มันแค่ในกรณีของ finite set เท่านั้น เรายังมีอีกกรณีที่ต้องจัดการนั่นคือ ขนาดหรือ cardinality ของ infinite set ควรเป็นเท่าไหร่

Cardinality of an infinite set

ด้วยหน้าตาที่ดูคุ้นๆ สำหรับเซตที่ใช้ในการเปรียบเทียบในข้างต้น ถ้าเราไม่ไปจำกัดขอบเขตของเซตให้ต้องจบที่ n และเพิ่ม 0 เข้าไปอีกหน่อย เซตดังกล่าวมันจะกลายเป็นเซตของจำนวนนับ (natural numbers) เลย ซึ่งมีสัญลักษณ์เท่ๆ ไว้แทนเซตของจำนวนนับนี้ว่า ℕ (เป็นตัว N ที่มีเส้นทแยงเพิ่มขึ้นมาอีก 1 เส้น)

อาจมีประเด็นที่อาจเกิดขึ้นได้ว่า 0 ถือว่าเป็นจำนวนนับหรือเปล่า เพราะการนับสิ่งของต่างๆ โดยปกติเราจะเริ่มนับจาก 1 ไม่ใช่ 0 เพราะฉะนั้น 0 ไม่ควรเรียกตัวเองว่าเป็นจำนวนนับ แต่ว่าเพื่อความสมบูรณ์ในทางคณิตศาสตร์ บางครั้ง 0 ก็ถูกเรียกว่าเป็นจำนวนนับได้เหมือนกัน คือประเด็นนี้จริงๆ แล้วมันขึ้นอยู่กับความสะดวกในการใช้งาน อย่างในกรณีนี้ถ้าใครทนเห็น 0 อยู่ในเซตของจำนวนนับไม่ได้ก็สามารถเอามือมาปิดได้ ไม่ได้ทำให้ความหมายโดยรวมเปลี่ยนไปแต่อย่างใด

ด้วยความหมายของมันคือเป็นเซตที่รวมจำนวนนับทุกตัวเข้าด้วยกัน เพราะฉะนั้นเซต ℕ เป็น infinite set แน่นอน โดยเราสามารถนำเหตุผลที่ยอมรับได้ในทางคณิตศาสตร์มายืนยันข้อสรุปได้ดังนี้

1. ด้วยความที่ ℕ มีจำนวนสมาชิกอยู่ไม่จำกัด จึงไม่สามารถสร้างตัวจับคู่ที่เป็น bijection จาก ℕ ไปยังเซตที่ใช้ในการเปรียบเทียบขนาด {1, 2, 3, …, n} ได้ เพราะถ้าเกิดสร้างได้ขึ้นมาจะหมายความว่า |ℕ|= n ซึ่ง n เป็นค่าจำกัด เลยจะไปขัดแย้งกับการที่ ℕ ต้องมีจำนวนสมาชิกอยู่ไม่จำกัด จากตรงนี้จะสรุปว่า |ℕ|≠ n
2. เราสามารถสร้างตัวจับคู่ที่เป็น injection จากเซตเปรียบเทียบ {1, 2, 3, …, n} ไปยัง ℕ ได้ ทำให้สรุปได้ว่าที่ขนาดไม่เท่ากับ n นั้นน่ะ จริงๆ แล้ว |ℕ|>n เพราะในความอินฟินิตี้นั้นมันยังมีสมาชิก n+1, n+2, … เหลืออยู่ ซึ่งจริงๆ แล้วมันมีทุกอย่างเหลืออีกเพียบที่ไม่ได้ถูกจับคู่ด้วย ทำให้ตัวจับคู่ของเราเป็นแค่ injeciton แต่ไม่เป็น surjection

สรุปสถานการณ์ในตอนนี้คือเรารู้ว่า |ℕ|>n ซึ่งต่อให้แทนค่า n มากเท่าไหร่ก็ตามก็ยังน้อยไปอยู่ดีเมื่อเทียบกับ |ℕ| แต่การรู้แค่เพียงเท่านี้ คำถามที่ยังคาใจก็ยังไม่ได้รับการตอบสักทีว่าขนาดของ infinite set ควรเป็นเท่าไหร่กันแน่ ซึ่งคิดว่าก็คงไปกวนใจ Cantor พอสมควรเลยทีเดียวจนพี่แกตัดปัญหาทุกสิ่งอย่างด้วยการนิยามว่าขนาดของ ℕ หรือ |ℕ| นั้นมีค่าเท่ากับ aleph naught ไปเลย

แต่จะให้ใช้อักขระละตินที่ใช้กันเกร่ออยู่แล้วมาแทนขนาดของความเป็นอินฟินิตี้ก็ดูจะธรรมดาเกินไป Cantor เลยใช้อักขระฮิบรูที่มีสัญลักษณ์ที่เขียนโคตรยากว่า ℵ และอ่านว่า aleph มาใช้ในการสื่อถึงขนาดของ infinite set อย่าง ℕ ซะเลย

เรื่องมันก็ควรจบลงตรงนี้ แต่ทว่าคำตอบของขนาดของ infinite set ที่เราเฝ้าหามาตั้งแต่ต้นก็ยังหาค่าไม่ได้อยู่ดี แต่กลายเป็นว่าคำตอบที่ได้มาดันมาจากการนิยามว่ามันมีขนาดเท่ากับ aleph naught ไปแล้วกัน ซึ่งตรงจุดนี้เองมันทำให้เกิดคำถามขึ้นมาทันทีว่าแล้วเซตที่มีขนาดเท่ากับ aleph naught + 1 หรือ 2 เท่าของ aleph naught ควรมีหน้าตาเป็นยังไง แล้วมันสามารถอธิบายได้ยังไง ซึ่งสามารถติดตามกันต่อได้ในบทความหน้าครับ (เดี๋ยวเพิ่ม link ทีหลัง)

ปล. และสามารถติดตามบทความอื่นๆ ได้ที่ Almost Everywhere ครับ

Reference

1. Infinite — internet encyclopedia of philosophy