มิติใหม่ของอินฟินิตี้
จากบทความที่แล้วที่กล่าวถึง Zeno’s paradox เกี่ยวกับการเคลื่อนที่ จึงเกิดเป็น 2 ค่ายความคิด บางส่วนก็คิดว่า Zeno ถูก เพราะถ้าเราแบ่งระยะทางออกไปได้เรื่อยๆ แบบนั้น เราไม่สามารถเดินทางไปถึงได้เลยจริงๆ นะ แต่ถ้าแนวคิดของ Zeno ถูกแล้วการที่เราสามารถเคลื่อนที่ไปไหนมาไหน หรือวิ่งแซงใครได้ เราจะอธิบายมันได้ยังไง ด้วยเหตุนี้คนส่วนใหญ่จึงเชื่อว่าแนวคิดของ Aristotle ถูกมากกว่า สำหรับบทความนี้จะนำพาทุกท่านดำดิ่งไปสู่ความเป็นอินฟินิตี้เพื่อไปค้นหาคำตอบและวิธีการแก้ไขข้อขัดแย้งที่ Zeno ได้ตั้งไว้
Previously on Zeno’s paradoxes
Zeno บอกว่าระยะทางมันสามารถถูกแบ่งได้อย่างไม่มีที่สิ้นสุด ทำให้ในการเคลื่อนที่ เมื่อเดินทางผ่านระยะที่เป็นครึ่งหนึ่งแล้ว ก็ต้องผ่านระยะที่เป็นครึ่งหนึ่งของระยะทางที่เหลือไปเรื่อยๆ แล้วแบบนี้จะสามารถเดินทางไปถึงที่หมายได้ยังไงในเมื่อเรายังไม่รู้เลยว่าจุดสิ้นสุดของการแบ่งระยะทางที่เหลือนี้คืออะไร หรือกล่าวคือต่อให้เดินทางไปใกล้ถึงจุดหมายแค่ไหนก็ยังเหลือระยะอีกครึ่งหนึ่งอยู่ดี และมันก็เหลือแบบนี้ไปเรื่อยๆ จนแบบอีกไกลแค่ไหนคือใกล้มาบอก Zeno ที
อย่างไรก็ตาม ข้อสรุปตามมุมมองของ Zeno คือ การเดินทางไปไหนมาไหนจะเกิดขึ้นไม่ได้เลย แต่ในความเป็นจริงมันเกิดขึ้นได้ เพราะเรายังสามารถเดินทางไปเรียนไปทำงานได้อยู่ถึงแม้ระยะที่เหลืออีกครึ่งหนึ่งจะเป็นอินฟินิตี้ เราก็ต้องแบกร่างไปให้ทันให้ได้ ก็เลยเกิดข้อขัดแย้งขึ้น
Aristotle ได้ให้ความเห็นต่อข้อขัดแย้งนี้ว่าต้องทำความเข้าใจอินฟินิตี้ให้ดีๆ เพราะมันถูกมองได้ 2 แบบ คือ potential infinity และ actual infinity โดย potential infinity ก็คืออินฟินิตี้ที่ “มีแวว” ว่าจะเป็นอินฟินิตี้ได้จริงๆ แต่ที่เวลาใดเวลาหนึ่งมันจะไม่ใช่อินฟินิตี้ (เป็นค่าจำกัด) เช่น การนับเลขไปเรื่อยๆ มันสามารถนับได้ไม่สิ้นสุด แต่ค่าตัวเลขที่เรานับ ณ ขณะหนึ่งมันจะเป็นแค่ค่าจำกัดเท่านั้น ส่วน actual infinity คือ อินฟินิตี้ “จริงๆ” ที่มันสื่อถึงความไม่สิ้นสุด ไร้ขอบเขต ไม่สามารถวัดได้ ฯลฯ โดยที่เวลาไหนๆ มันก็คืออินฟินิตี้แบบนั้น ไม่ได้ลดตัวลงไปเป็นค่าจำกัดเหมือนอย่าง potential infinity ยกตัวอย่างเช่น เส้นตรงที่มีความยาวแบบไม่มีที่สิ้นสุด
จากการใช้คำ potential และ actual อาจทำให้เกิดความเข้าใจว่าสิ่งที่เป็น potential จะกลายเป็น actual ได้สักวัน แต่สำหรับกรณีนี้อาจจะโหดร้ายหน่อยที่ potential infinity ไม่สามารถพัฒนาตัวเองให้กลายเป็น actual infinity ได้
Aristotle เสริมต่อว่า infinity ที่ Zeno ต้องการสื่อมันคือ potential infinity และจริงๆ แล้วเราสามารถเดินทางไปถึงที่หมายได้ถึงแม้ว่ามันจะเหลือระยะทางอีกเป็น (potential) infinity ก็ตาม เพราะว่าระยะที่เหลือมันก็น้อยกว่าเดิมเรื่อยๆ ก็จะใช้เวลาน้อยลงด้วย
Infinity (revisited)
จนเวลาผ่านไปประมาณ 2000 ปี ซึ่งในระหว่างนั้นก็มีความต้องการที่จะเข้าถึงอินฟินิตี้มาเสมอ แต่ก็มีนักปรัชญาบางคนให้ความเห็นว่าแนวคิดของอินฟินิตี้นั้นมันเกินขีดการรับรู้ของมนุษย์ไปแล้ว ยิ่งตอนช่วงยุคกลางยิ่งไปกันใหญ่ ความเป็นอินฟินิตี้คือพินาศมาก ถ้าให้เปรียบเทียบก็คงเหมือนกับเรื่องราวแฟนตาซีของพระพุทธเจ้าที่เพิ่มเข้ามาทำให้พุทธศาสนาบิดเบี้ยวไปพอสมควร ซึ่งความเป็นอินฟินิตี้ในเวอร์ชันที่เกี่ยวข้องกับความเชื่อทางศาสนานี้ถูกเรียกว่า transcendental infinity ที่นอกจากจะสื่อถึงความไม่สิ้นสุดแล้ว ยังสื่อถึงพลังของพระเจ้าผู้รู้ ผู้ตื่น ผู้เบิกบาน และแถมยังมีความหมายแฝงถึงความสมบูรณ์แบบและความโกลาหลอีกด้วย (เดี๋ยวนะ!)
ต้องขอบคุณผลงานของ Dedekind และ Cantor ที่มาปรับทัศนคติในความหมายของอินฟินิตี้ โดยไม่ได้มองแค่อินฟินิตี้ตัวเดียว แต่มองมันเป็นเซต (set)
เราสามารถจินตนาการสิ่งที่เรียกว่า “เซต” ได้ว่าเป็น “ถุงผ้า” ที่เอาไว้ใส่ของอื่นๆ อีกที โดยที่ของอื่นๆ นั่นจะเป็นอะไรก็ได้แม้กระทั่งเป็นถุงผ้าเองก็ตาม (แต่ต้องเป็นถุงผ้าใบอื่น)
ดังนั้น actual infinity จะทำให้อยู่ในรูปของเซตเรียกว่า actually infinite set เพื่อเป็นตัวอย่าง อาจมองเป็นเส้นตรงที่มีความยาวไม่จำกัดหรือเซตของจำนวนจริงก็ได้ โดย Cantor พบว่าเซตของจำนวนจริงที่มันไม่สิ้นสุด ไม่มีขอบเขตนั้นมันเหมือนกับลักษณะเซตของจำนวนจริงที่มีค่าอยู่ในช่วง 0 ถึง 1 เลย กล่าวคือเส้นตรงความยาวหนึ่งหน่วยดันไปมีจำนวนจุดเท่ากับเส้นตรงที่มีความยาวแบบไม่จำกัด! (บทพิสูจน์แบบขำๆ อยู่ด้านล่าง)
มาถึงตอนนี้ ถ้าชาวกรีกยุคก่อนเห็นคงต้องกรีดร้องเพราะว่าอินฟินิตี้ในความหมายใหม่นี้สามารถสื่อได้จากเส้นตรงที่ยาวเพียงแค่หนึ่งหน่วย! ซึ่งมันไม่ได้ไม่จำกัด ไม่มีขอบเขต หรือวัดค่าไม่ได้เหมือนที่เคยเข้าใจเลย
ในทางด้าน potential infinity ก็ทำในทำนองเดียวกันโดยมองว่าเป็นเซตซึ่งเรียกว่า potentially infinite set ซึ่งมันเกิดมาจากบางส่วนของ actually infinite set ที่ค่อยๆ เพิ่มเข้ามา หรือบอกว่า potentially infinite set คือสับเซตที่มีจำนวนสมาชิกเพิ่มมากขึ้นเรื่อยๆ
Standard solution to the Zeno’s paradox of motion
ย้อนกลับไปที่ Zeno’s dichotomy paradox จากแนวคิดของอินฟินิตี้แบบใหม่นี้ ทำให้เข้าใจได้ว่าไม่ว่าระยะทางจะสั้นแค่ไหนแต่มันสามารถถูกแบ่งได้ไม่สิ้นสุด เพราะมันประกอบไปด้วย (actually) infinite จุด เลยกลายเป็นว่าจริงๆ แล้ว Aristotle บอกผิด Zeno ต่างหากที่คิดถูกแล้ว แต่โดนกลายเป็นคนผิดมาโดยตลอด (Zeno ผู้น่าสงสารเคลมว่าระยะทางสามารถแบ่งได้ไม่จำกัดเพราะเกิดมาจากจุดจำนวนนับไม่ถ้วน)
คำถามคือถ้าแนวคิดของ Zeno ถูกแล้วทำไมถึงยังเกิดข้อขัดแย้งอยู่
คราวนี้ต้องขอบคุณ Newton และ Leibniz สำหรับการคิดค้นแคลคูลัส (calculus) ซึ่งใช้แนวคิดลิมิต (limit) เพื่อสื่อถึงสิ่งของที่เล็กมากๆ (infinitesimal) ทำให้ได้ทำความเข้าใจใหม่ว่าเราสามารถบวกเลขบางชุดโดยบวกแบบไม่มีที่สิ้นสุดแล้วได้ค่าที่จำกัด (ได้ค่าที่ไม่ใช่อินฟินิตี้) ได้ด้วย และชุดตัวเลขที่เกิดขึ้นจากการเดินทางที่เดินไปทีละครึ่งของระยะทางที่เหลือดันอยู่ในเงื่อนไขนี้ด้วย
1/2 คือระยะทางที่เดินไปครั้งแรก, 1/4 คือระยะทางที่เดินได้ในครั้งถัดไป และ 1/8, 1/16, … ก็คือระยะทางในครั้งถัดๆๆๆ ไป
ทำให้สามารถสรุปได้ว่าแท้จริงแล้วการเดินทางด้วยวิธีของ Zeno ในข้อขัดแย้งต่างๆ นั้นสามารถเกิดขึ้นได้จริงและไม่ได้ไปขัดแย้งอีกต่อไป อย่างเช่น การพายเรือของเด็กน้อยในบทความนี้ ก็มีค่าเท่ากับ 1 กม. เช่นกัน
น่าสงสาร Zeno สุดๆ เพราะเรื่องราวในยุคนั้นเกิดขึ้นประมาณ 300 ปีก่อนคริสตศักราช แล้วกว่าจะทำความเข้าใจอินฟินิตี้ใหม่ สร้างทฤษฎีเซต และคิดค้นแคลคูลัสก็ปาเข้าไปตอนช่วงปีคริสตศักราช 1800 เกือบ 1900 คือกลายเป็นว่า Zeno ตกเป็นจำเลยของสังคมมาตลอด 2000 กว่าปี!
แต่เอาจริง มันก็ไม่มีทางเลือกอื่นแล้ว Zeno เลยซวยไป เพราะในยุคนั้นแนวคิดของพวกปรัชญากับคณิตศาสตร์ก็ยังแยกกันไม่ชัดเท่าปัจจุบันนี้ แถมยังโดนอุปสรรคช่วงยุคกลางทำให้ทุกอย่างแทบไม่ได้พัฒนาอีก มิหนำซ้ำการทำอะไรในคณิตศาสตร์ก็ต้องให้ละเอียดอ่อน รอบคอบ ซึ่งจะเห็นว่ากว่าจะได้อะไรมาแต่ละที อย่างเช่นนิยามใหม่ของ potential infinity และ actual infinity นี้ก็เล่นเอาเหนื่อยกันเป็นแถว และจากจุดนี้เองชาวคณิตศาสตร์จึงเข้าใจว่าเซต (set theory) จะช่วยเยียวยาทุกอย่าง แต่ก็เปล่าเลย การเอาของใส่ลงไปในเซตแบบมั่วๆ ก็นำมาซึ่งความบรรลัยได้เหมือนกัน (เดี๋ยวเพิ่ม link ทีหลัง)
ปล. สามารถติดตามบทความอื่นๆ ได้ที่ Almost Everywhere ครับ
Visualisation of the proof of isomorphism between two different lines
ก่อนอื่นต้องออกตัวก่อนว่าการพิสูจน์ที่นำมาแสดงในบทความนี้ไม่สามารถถูกอ้างอิงให้เป็นการพิสูจน์ที่ถูกต้องได้ เพราะมันไม่ชัดเจน และยังต้องการเหตุผลที่ละเอียดอ่อนอีกมาก (นักคณิตศาสตร์ทฤษฎีผ่านมาเห็นคงต้องกรีดร้อง) แต่อย่างไรก็ตามสามารถดูให้พอเห็นภาพเป็นไอเดียได้
สมมติมีเส้นครึ่งวงกลมกับส่วนของเส้นตรงที่มีความยาวจำกัด เราพบว่าแต่ละจุดของครึ่งวงกลมสามารถ “จับคู่” ได้กับแต่ละจุดบนเส้นตรงอันนี้ได้ ด้วยการจับคู่ในรูปแบบของเส้นสีน้ำเงินในรูป ศัพท์เทคนิคเรียกการจับคู่แบบนี้ว่า projection onto x-axis ซึ่งเมื่อไหร่ก็ตามที่สามารถสร้างการจับคู่นี้ได้ โดยที่จับคู่ได้ครบทุกตัวและไม่ใช้ตัวซ้ำกันเลย (bijection, one-to-one correspondence) เราสามารถบอกได้ว่าสิ่งของสองสิ่งนั้นมีจำนวนเท่ากัน (isomorphism) อย่างในกรณีนี้จะสรุปได้ว่า จุดบนครึ่งวงกลมมีจำนวนเท่ากับจุดบนเส้นตรง
แต่ทว่าเจ้าครึ่งวงกลมนี้ดันไปมีจำนวนจุดเท่ากับจุดบนเส้นตรงที่มีความยาวแบบไม่สิ้นสุดอีก!
โดยการจับคู่แบบใหม่เรียกว่า stereographic projection แต่เป็นเวอร์ชัน 2 มิติ ซึ่งอ้างอิงจากจุดศูนย์กลางของครึ่งวงกลม แล้วยิงลำแสงทะลุออกไป เส้นตรงสีน้ำเงินนี้จะตัดกับครึ่งวงกลมกับเส้นตรงที่มีความยาวไม่สิ้นสุดนี้อย่างละครั้ง ทำให้ได้ว่าการจับคู่นี้สอดคล้องกับเงื่อนไขที่ทำให้สรุปต่อได้ว่าจำนวนจุดของครึ่งวงกลมมีปริมาณเท่ากับจุดบนเส้นตรงที่มีความยาวไม่สิ้นสุด
เนื่องจากจุดบนครึ่งวงกลมมีจำนวนเท่ากับจุดของเส้นตรงที่มีค่าจำกัด แต่จุดบนครึ่งวงกลมก็ดันมีค่าเท่ากับจำนวนจุดบนเส้นตรงที่มีค่าไม่จำกัดด้วย ดังนั้นจุดของเส้นตรงที่มีค่าจำกัดมีจำนวนเท่ากับจำนวนจุดบนเส้นตรงที่ยาวไม่สิ้นสุด!
