หรือจริงๆ แล้ว 1 = 2

เมื่อสองสัปดาห์ก่อนได้มีโอกาสไปเจออาจารย์ท่านหนึ่ง เลยได้ถามถึงประเด็นต่างๆ ในคณิตศาสตร์เผื่อจะนำมาเขียนเป็นบทความได้บ้าง นี่ก็ได้ไอเดียมาอย่างเยอะเลย บางเรื่องอาจารย์ก็เล่าอย่างละเอียดตั้งแต่ต้นจนจบ ส่วนบางเรื่องก็เปิดมาเป็นประเด็นแล้วก็จากไปเฉยๆ เพราะอาจารย์ไม่อยากสปอยล์ตอนจบให้หมดความสนุกก่อน วันนี้เลยอยากหยิบยกสักเรื่องมาเล่าให้ฟัง ซึ่งเรื่องที่ทุกท่านกำลังจะได้รับชมในบทความนี้ดันเป็นหนึ่งในเรื่องที่ยังไม่รู้ว่าท้ายที่สุดแล้วจะเป็นยังไง และก็ไม่รู้ว่าสิ่งที่อยู่ในบทความนี้ถูกหรือเปล่า เลยกลายเป็นความท้าทายให้ผู้อ่านไปแล้วกันว่าจะสามารถจับผิดได้หรือเปล่า!

เรื่องของเรื่องมีอยู่ว่า

• จับ 1 มาบวกกัน 1 ครั้งได้เท่ากับ 1 ซึ่งเขียนใหม่ให้เท่ากับ 1 ยกกำลังสอง หรือ1² ได้
• ทีนี้ลองเอา 2 มาบวกกัน 2 ครั้งบ้าง ก็ได้เท่ากับ 2 × 2 หรือก็คือ 2²
• ไหนลองเอา 3 มาบวกกัน 3 ทีซิ ซึ่งมันได้เท่ากับ 3 × 3 หรือ 3²
• ย้ำอีกสักครั้งโดยการเอา 4 มาบวกกัน 4 รอบ จะได้เป็น 4 × 4 ซึ่งเท่ากับ 4²

ดังนั้น ถ้ามี x ซึ่งเป็นตัวเลขที่มีค่ามากกว่า 0 มาบวกกัน x ครั้งก็ควรจะได้ x² ด้วยสิ เพราะว่า x บวกกัน x ครั้งก็เขียนได้เป็น x × x ซึ่งก็คือ x²

จริงๆ แทน x = 0 แล้วมันจะกลายเป็นการบวก 0 ครั้ง ซึ่งมันตีความยากเหลือเกิน เลยไม่พิจารณากรณีที่ x = 0 แล้วกัน

อาจลองแทน x = 10 ดูเพื่อความมั่นใจ มันก็จะกลายเป็น 10 บวกกัน 10 ครั้ง ก็ได้เท่ากับ 10 × 10 = 10² ก็ยังเป็นจริงอยู่ หรือจะแทน x ด้วยร้อยหรือล้านก็ยังเป็นจริงอยู่

จากนั้นทำการดิฟ (differentiation) ทั้งสองข้างเทียบกับ x และสิ่งที่ได้คือ เทอมทางซ้ายมือของเครื่องหมายเท่ากับ (LHS term) จะได้ค่าเท่ากับ x โดยการดิฟทีละเทอม

และเมื่อพิจารณาที่เทอมทางขวามือของเครื่องหมายเท่ากับ (RHS term) จะได้ค่าเท่ากับ 2x

หรือเขียนรวมทั้งกระบวนการดิฟจากทั้งสองข้างของเครื่องหมายเท่ากับนี้ได้ว่า

จากนั้นหารด้วย x ทั้งสองข้างจะได้ว่า 1 = 2! (! แสดงถึงความตกใจไม่ใช่ factorial)

เราสามารถทำการหารด้วย x ทั้งสองข้างได้เลย เพราะได้ตัดกรณีที่ x = 0 ออกไปตั้งแต่แรกแล้ว ทำให้เป็นการยืนยันว่าเราไม่ได้หารด้วย 0 เพราะการหารด้วยศูนย์จะมีปัญหาอยู่ ซึ่งสามารถติดตามต่อได้ที่บทความนี้ครับ

กลายเป็นว่าถ้าเราดำเนินการตามนี้มาเราจะได้คำตอบว่า 1 = 2 ซึ่งถ้าผลลัพธ์ที่ได้มานี้เป็นจริง จะเกิดโศกนาฏกรรมในวงการคณิตศาสตร์เลย เพราะเลข 1 กับเลข 2 นี้มันเป็นจำนวนนับ และการที่ 1 = 2 มันไปขัด Peano’s axioms เต็มๆ เลย ซึ่งเจ้าตัว Peano’s axioms นี้ถือเป็นความจริงแรกสุดของจำนวนนับที่กลายเป็นรากฐานของระบบจำนวนที่ใช้อยู่ในปัจจุบัน

ด้วยเหตุนี้เลยกลายเป็นว่ามันต้องมีจุดผิดสักอย่างในการคำนวณข้างบนแน่ๆ ว่าแต่ว่ามันผิดตรงไหน

[[Spoiler alert!!]]

เนื้อหาด้านล่างมีการเปิดเผยสิ่งที่คิดว่าน่าจะเป็นคำตอบ หากไม่อยากหมดสนุกก่อนอย่าเพิ่งเลื่อนลงไป

ต้องออกตัวก่อนว่าเนื้อหาถัดไปจากนี้ยังไม่ได้รับการยืนยันว่าถูกต้อง ฉะนั้นโปรดใช้วิจารณญาณในการรับชมครับ

My treatment

คือตอนที่เขียนสรุปรวบไปโดยใช้ตัวแปร x ทั้งๆ ที่ตอนแรกให้ตัวอย่างมาแต่จำนวนนับ มันทำให้เกิดความเคลือบแคลงใจว่า ถ้า x ไม่ใช่จำนวนนับ มันยังเป็นจริงอยู่หรือเปล่า

เพราะว่าการบอกว่าค่าทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับมีค่าเท่ากับค่าทางด้านขวานั้นต้องอาศัยการบวก x ไป x ครั้ง ซึ่งการเปลี่ยนค่าทางซ้ายไปเป็นค่าทางขวาได้นั้น จะทำได้เฉพาะตอนที่ x เป็นจำนวนนับเท่านั้น อาจลองแทนค่า x = -3.14 เพื่อให้เห็นภาพ จะพบว่าความหมายของเทอมทางด้านซ้ายมือไม่สามารถถูกเปลี่ยนไปเป็น (-3.14)² ได้ เพราะว่าเราไม่สามารหาค่าของการบวก -3.14 ไป -3.14 ครั้งได้

ข้อสันนิษฐานสำหรับความพังที่ได้ข้อสรุปว่า 1 = 2 นี้คือการสร้างเอกลักษณ์ x บวกกัน x ครั้งได้เท่ากับ x² เพราะว่าเอกลักษณ์นี้มันเป็นจริงในกรณีที่ x เป็นจำนวนนับ เลยกลายเป็นว่าเอกลักษณ์นี้มันนิยามแค่เฉพาะจำนวนนับเท่านั้น ซึ่งถ้าเรานึกภาพไปที่เส้นจำนวน (real line) ก็จะได้เป็นดังนี้

โดยให้จุดสีเหลืองๆ คือค่าที่ถูกนิยาม และด้วยความที่มันถูกนิยามแค่บางส่วนของเส้นจำนวน หรือก็คือที่แต่ละจุดของจำนวนนับเท่านั้น ทำให้ตอนหาลิมิตต่อไปนี้

มันจะหาค่าไม่ได้ เพราะเราไม่รู้ค่าที่จุดอื่นๆ เลย ยกเว้นที่จุด x ที่เป็นจำนวนนับ นั่นคือเราไม่สามารถหาค่าของ f(x+h) ได้ ถึงแม้ว่า h จะมีค่าน้อยจนเข้าใกล้ 0 แค่ไหนก็ตาม แต่การบวก h มานั้นจะสื่อถึงค่าอื่นที่ไม่ใช่ x แต่อยู่ใกล้ๆ x แทน ซึ่งในกรณีนี้เราไม่มีค่านั้นอยู่ในฟังก์ชันถึงแม้ว่าฟังก์ชัน f ของเราจะนิยามว่าเป็น x หรือ x² ก็ตาม

ตามความเคยชินในการใช้งานฟังก์ชันต่างๆ เรามักจะเจอแต่ฟังก์ชันที่สามารถแทนค่าใดๆ ก็ได้ในจำนวนจริงแล้วจะได้คำตอบออกมาเลย หรือก็คือมันต่อเนื่องตลอดทั้งจำนวนจริง แต่บังเอิญว่าสำหรับกรณีของฟังก์ชันที่กำลังพิจารณาอยู่ ไม่ว่าจะเป็น x ที่อยู่ทางซ้ายมือของเครื่องหมายเท่ากับ หรือว่า x² ที่อยู่ทางขวามือของเครื่องหมายเท่ากับนั้น ทั้งสองฟังก์ชันนี้มันถูกนิยามให้มีค่าได้แค่ในกรณีที่ input ของฟังก์ชัน (โดเมน, domain) เป็นจำนวนนับเท่านั้น ส่วนในกรณีอื่นจะไม่ถูกนิยาม ทำให้ไม่รู้ค่าของฟังก์ชันที่จุดอื่นๆ (คือหน้าตามันคือ x หรือ x² ที่เรารู้จัก แต่การจะบอกว่ามันเป็นตัวเดียวกันกับที่เราคุ้นเคยนั้นต้องดูที่โดเมนของมันด้วย)

ความเศร้าอยู่ตรงที่ว่าแท้จริงแล้วลิมิตด้านบนนี้มันคือคำนิยามของการดิฟ พอลิมิตหาค่าไม่ได้ เลยทำให้ฟังก์ชันไม่สามารถดิฟได้ แต่ๆๆ แต่ว่าในการนำมาซึ่งข้อสรุป 1 = 2 นั้นต้องอาศัยการดิฟด้วย มันก็เลยน่าจะเป็นสาเหตุให้เกิดข้อสรุปประหลาดนี้ขึ้นมาได้

Summary

สรุปก็คือตอนที่ทำเป็นเอกลักษณ์สวยๆ นี้

มันมีเงื่อนไขซ่อนอยู่ว่า x ต้องเป็นจำนวนนับเท่านั้น ซึ่งถ้าไม่ได้ตระหนักถึงการมีอยู่ของเงื่อนไขนี้ก็จะทำให้พลาดได้ง่ายๆ เหมือนกัน เพราะการที่มันเป็นจริงแค่จำนวนนับเท่านั้น เลยเกิดความไม่ต่อเนื่องขึ้น ซึ่งการที่มันไม่ต่อเนื่องจะนำพาไปสู่การดิฟไม่ได้ แต่ถ้าเรายังดึงดันไปดิฟอยู่ก็จะได้ข้อสรุปที่ไม่หลงเหลือความสมเหตุสมผลในทางคณิตศาสตร์อยู่เลย

ปล. ถ้าถูกใจก็สามารถติดตามบทความอื่นๆ ได้ที่ Almost Everywhere ครับ

Acknowledgement

ขอบคุณอาจารย์ท่านหนึ่งสำหรับไอเดียบทความครั้งนี้ครับ