อภินิหารอินฟินิตี้
เมื่อ Cantor ได้นิยามขนาดของเซตจำนวนนับ (ℕ) ว่ามีขนาดเท่ากับ aleph naught หรือเขียนเป็นสัญลักษณ์ได้ว่า
โดยที่สัญลักษณ์ |ℕ| แทนข้อความว่า ขนาดของเซต ℕ
ก็ได้สร้างความแตกตื่นให้กับวงการคณิตศาสตร์เป็นอย่างมาก คิดว่าบรรยากาศในตอนนั้นน่าจะเป็นประมาณว่านักคณิตศาสตร์คนอื่นๆ มองแรงใส่ Cantor ว่านี่มันเป็นใคร มันเป็น คันเทอร์ เทพอินฟินิตี้ ณ เยอรมัน หรือยังไง ไปใหญ่มาจากไหนถึงกล้ามาบอกว่าขนาดของอินฟินิตี้ควรเป็นเท่านั้นเท่านี้ คือถ้ายุคนั้นมีทวิตเตอร์นี่พี่แกคงติดเทรนด์อันดับหนึ่งอย่างแน่นอน
แต่มันอดสงสัยไม่ได้เลยว่าทำไมถึงต้องนิยามขนาดของอินฟินิตี้ด้วย ในเมื่อสุดท้ายแล้วก็ไม่ได้ข้อมูลอะไรอยู่ดี เพราะความเป็นอินฟินิตี้ที่ดูเหมือนจะระบุอะไรได้บ้างแล้วตอนนี้กลับถูกสืบทอดมายังร่างอวตารอย่าง aleph naught แทน แล้วทุกอย่างก็เหมือนเดิมเด๊ะ ขนาดอินฟินิตี้ที่ยังไม่เคยรู้ค่ายังไง ค่าของ aleph naught ก็ยังไม่รู้ค่าที่แท้จริงเช่นกัน ไปๆ มาๆ มันก็เหมือนกับอินฟินิตี้ดีๆ นี่เอง (นี่อินฟินิตี้หรือ คสช) อิหยังว้าาาาาาาาา
ในการให้คำตอบนี้ ต้องเท้าความไปถึงการบอกความเท่ากันของขนาดของสองเซตใดๆ ซึ่งวิธีการที่ Cantor ชอบมากเลยคือการสร้างการจับคู่ (mapping) ถ้าสามารถสร้างการจับคู่ “ที่ดี” ได้สักอัน จะสรุปได้ว่าเซตสองเซตนั้นมีขนาดเท่ากัน และในทางตรงกันข้ามถ้าสร้างการจับคู่ “ที่ดี” ไม่ได้เลย ก็แปลว่าเซตคู่นั้นมีขนาดไม่เท่ากัน
อาจสับสนในความหมายของความดี เพราะถ้ายึดตามสถานการณ์ปัจจุบัน ความดีมันถูกบิดเบือนไปมากพอสมควร แต่ในบริบทนี้ การเป็นตัวจับคู่ที่ดีคือการที่มันสามารถจับคู่กันได้ทุกตัวโดยที่ไม่มีคู่ไหนใช้ตัวที่ซ้ำกันเลย ซึ่งมีคำเรียกเท่ๆ ว่า bijection
Cantor สนุกสนานอยู่กับการหาการจับคู่ที่ดีเป็นอย่างมาก ก็หยิบ infinite set ต่างๆ มาเปรียบเทียบกับเซตของจำนวนนับซึ่งคือ {0, 1, 2, 3, …} และก็ได้ความจริงที่น่าตกใจว่าจำนวนเลขคู่มีขนาดเท่ากับจำนวนนับเลย! ซึ่งความจริงอันนี้มันสร้างความงุนงงมาก เพราะอย่างในกรณีของ finite set สมมติว่าเป็น A = {0, 1, 2, 3} มองปร๊าดเดียวก็รู้แล้วว่าขนาดของ A คือ 4 โดยที่ประกอบด้วยจำนวนคู่ 2 ตัว (คือ 0 และ 2) และจำนวนคี่อีก 2 ตัว (คือ 1 และ 3) ซึ่งในกรณีนี้จำนวนคู่มีจำนวนน้อยกว่าจำนวนตัวเลขทั้งหมดในเซต A ที่สนใจ แต่ถ้าตัดภาพไปสำหรับ infinite set อย่างเซตของจำนวนนับ จะได้ว่าเราสามารถสร้างการจับคู่ที่ดีจากเซตของจำนวนนับไปยังเซตของจำนวนคู่ได้ (หนึ่งในการจับคู่นั้นคือ f(n) = 2n)
ด้วยเหตุนี้เลยกลายเป็นว่าเซตของจำนวนคู่มีขนาดเท่ากับเซตของจำนวนนับ และในทำนองเดียวกันก็จะได้ว่าเซตของจำนวนคี่ก็มีขนาดเดียวกันกับเซตของจำนวนนับเช่นกัน (ด้วยการจับคู่ f(n) = 2n + 1)
จากที่ได้สร้างความตกใจว่าเซตของจำนวนนับสามารถสร้างการจับคู่ที่ดีไปยังส่วนหนึ่งของตัวมันเอง (สับเซต) ได้ Cantor เลยได้ใจจึงขยาย infinite set ที่สนใจเรื่อยๆ แต่คราวนี้เป็นเซตของจำนวนเต็มบ้าง (set of integers, Z) (จริงๆ แล้วสัญลักษณ์มันคือ Z ที่มีเส้นทแยงเพิ่มอีกเส้น แต่ว่าหามาวางในนี้ไม่ได้เลยแสดงด้วย Z ตัวหนาแทน)
ก็พบว่ายังสามารถสร้างการจับคู่ที่ดีได้อยู่ดี
ดังนั้นในตอนนี้จะได้ว่าเซตของจำนวนนับ มีขนาดเท่ากับเซตของจำนวนคู่ และมีขนาดเท่ากับเซตของจำนวนคี่ และมีขนาดเท่ากับเซตของจำนวนเต็ม ซึ่งทั้งหมดนี้มีค่าเท่ากับ aleph naught
เพื่อความคล่องตัวจึงขอใช้สัญลักษณ์ |A| แทนข้อความว่า ขนาดของเซต A
มากกว่านั้นเราจะเรียก infinite set ที่สามารถหาการจับคู่ไปยังเซตของจำนวนนับว่า coutable set หรือ coutably infinite set
เนื่องจากว่าพอขยายจากเซตจำนวนนับไปยังเซตจำนวนเต็มก็ยังหาการจับคู่ที่ดีมายังเซตของจำนวนนับได้อยู่ดี ตอนนี้ Cantor ได้แต่ยิ้มมุมปากด้วยความเมามัน และไม่รอช้าที่จะขยายต่อไปยังเซตของจำนวนตรรกยะ (set of rational numbers, Q) (สัญลักษณ์มันคือ Q ที่มีเส้นตรงในแนวดิ่งเพิ่มเข้ามา 1 หรือ 2 เส้นตามอารมณ์ แต่ว่าหามาวางในนี้ไม่ได้เลยแสดงด้วย Q ตัวหนาแทน)
แต่คราวนี้ทำเอา Cantor เหงื่อตกนิดหน่อย เพราะภาพการจับคู่อาจจะไม่ชัดเจนเหมือนกับกรณีที่ผ่านๆ มา โดยจะต้องพึ่งพาคุณสมบัติของการเป็นจำนวนตรรกยะหรือ rational numbers ว่าเป็นจำนวนที่สามารถเขียนเป็นเศษส่วนได้ และนำมาเรียงในรูปแบบนี้
ซึ่งการเขียนแบบนี้เป็นการแสดงถึงจำนวนตรรกยะทุกจำนวนแล้ว (เพราะจำนวนตรรกยะคืออัตราส่วนของจำนวนเต็ม และตัวเศษเป็น list ของจำนวนเต็มทั้งหมด ส่วนตัวส่วนเป็น list ของจำนวนนับทั้งหมดยกเว้น 0) แต่ก็อาจจะมีซ้ำกันบ้าง เช่น 1/1 จะไปเท่ากับ 2/2 ก็ไม่เป็นไร เพราะในการจับคู่ก็เว้นตัวที่ซ้ำไป และจะจับคู่โดยไล่ตามลูกศร zigzag ไปในลักษณะนี้
ทำให้ได้ว่าขนาดเซตของจำนวนนับเท่ากับขนาดเซตของจำนวนตรรกยะเลย หรือก็คือเซตของจำนวนตรรกยะเป็น countably infinite set เช่นกัน และแน่นอนว่าขนาดเซตของจำนวนตรรกยะก็เท่ากับ aleph naught ด้วย
ความจริงอันนี้ทำให้ทุกคนต้องกรีดร้อง เพราะจำนวนนับมันคือเลขเต็มๆ ที่ใช้นับกันทั่วไป ส่วนจำนวนตรรกยะคือรูปแบบตัวเลขที่รวมจำนวนนับเข้าไป และก็เพิ่มพวกเศษส่วน อัตราส่วนต่างๆ มันก็ควรจะมีขนาดมากกว่าสิ แต่กลายเป็นขนาดของจำนวนตรรกยะมีเท่ากันกับขนาดของจำนวนนับเฉยเลย
แต่ความพีคมันไม่ได้มีอยู่เท่านั้น Cantor ผู้ชอบการจับคู่ก็ยังคงมองหา infinite set ที่ใหญ่ขึ้นไปเรื่อยๆ จนกระทั่งไปพิจารณาเซตของจำนวนจริง (set of real numbers, R) (จริงๆ แล้วสัญลักษณ์มันคือ R ที่เพิ่มเส้นแนวตั้งมาอีกเส้น แต่ว่าหามาวางในนี้ไม่ได้เลยแสดงด้วย R ตัวหนาแทน)
Cantor นั่งงมหาการจับคู่ที่ดีอยู่นานด้วยความหวังว่าจะหาการจับคู่ที่ดีได้เหมือนเคย แต่ก็ยังหาไม่ได้สักที จนอดสงสัยไม่ได้ว่า “หรือว่าจะไม่มีการจับคู่ที่ดีระหว่างกัน”
ซึ่งถ้าเป็นแบบนั้นจะหมายถึงว่าเซตจำนวนจริงกับเซตจำนวนนับมีขนาดไม่เท่ากัน แต่เดี๋ยวก่อนคือทั้งคู่มันเป็น infinite set นะ
เกิดอะไรขึ้นกับอินฟินิตี้ มาต่อกันที่บทความหน้าครับผม :)
ปล. สามารถติดตามบทความอื่นๆ ได้ที่ Almost Everywhere ครับ
