อินฟินิตี้ — จำเป็นต้องมีหรือไม่มีกันแน่

ย้อนกลับไปในยุคกรีกโบราณ อินฟินิตี้ (infinity) เป็นแนวคิดที่สร้างความพิศวงงงงวยได้เป็นอย่างมาก เพราะมันไม่ได้สื่อถึงแค่ปริมาณที่มาก — มากแบบอลังการไร้ขีดจำกัดเพียงอย่างเดียว แต่มันยังถูกตีความว่าเป็นสิ่งที่ไม่จำกัด ไม่ตายตัว ไร้ตัวตน คลุมเครือ เข้าใจไม่ได้ หรือแม้กระทั่งยุ่งเหยิง (?) เรียกได้ว่าคิดอะไร surreal หน่อยก็ใส่มาเป็นความหมายของอินฟินิตี้ได้เลย

และด้วยความกำกวมในทุกสิ่งอย่างที่เกี่ยวกับอินฟินิตี้ จึงทำให้เกิดปัญหาตั้งแต่การแบ่งแยกสิ่งที่มันมีค่าจำกัด (finite) ออกจากอินฟินิตี้ ไปจนกระทั่งปัญหาในการใช้งานอินฟินิตี้ จนอาจต้องตั้งคำถามว่าจำเป็นต้องมีแนวคิดอินฟินิตี้อยู่หรือไม่

ตัวอย่างปัญหาสุดคลาสสิคเวลาพูดถึงอินฟินิตี้มาจาก Zeno นักปรัชญายุคกรีกโบราณที่เป็นจุดเริ่มต้นให้เกิดการตระหนักถึงการพัฒนาแนวคิดของอินฟินิตี้ โดยในบทความนี้ขอยกมา 2 ปัญหาเพื่อเป็นตัวอย่างในการอธิบาย

The first Zeno’s problem

ในครอบครัวหนึ่งที่แสนสงบ (แต่ไม่รู้ว่าจะสุขหรือทุกข์) ทุกคนก็ก้มหน้าก้มตาใช้ชีวิตของตัวเองไป อยู่มาวันหนึ่ง แทบทุกคนในบ้านเกิดความสงสัยว่าพ่อกับลุงใครแข็งแรงกว่ากัน เลยเรียกร้องให้พ่อกับลุงมาวิ่งแข่งกัน พ่อบอกพร้อม แต่ลุงได้แต่อิดออดแล้วก็ขอผลัดมาเรื่อยๆ จนวันหนึ่งลุงก็เดินเข้ามาบอกทุกคนในบ้านว่าพร้อมแล้ว จะวิ่งแข่งก็มาดิค้าบ แต่มีข้อแม้ว่าให้ทุกคนยึดตามกติกาที่ลุงเขียนแล้วกัน โดยหนึ่งในนั้นคือให้ลุงเริ่มต้นที่ 250 เมตร แทนที่จะเป็นจุดเริ่มต้นปกติเหมือนของพ่อ

แทบทุกคนในบ้านตกใจแต่เรียกร้องอะไรไม่ได้ ลุงได้แต่กระหยิ่มยิ้มย่องเพราะด้วยแผนที่วางไว้ดิบดี ต่อให้พ่อจะวิ่งด้วยความเร็วคงที่ที่เร็วกว่าลุงสักร้อยเท่าพันเท่าก็ไม่มีทางแซงลุงได้แน่นอน เนื่องจากในขณะที่พ่อวิ่งมาถึงตำแหน่งที่ลุงเคยอยู่ ลุงก็ได้วิ่งออกห่างไปแล้ว และกว่าพ่อจะวิ่งมาถึงตำแหน่งใหม่ของลุง ลุงก็วิ่งขยับออกไปอีกอยู่ดี คือในช่วงเวลาที่พ่อวิ่งมาเพื่อให้ทันและจะแซงลุงนั้น ลุงก็วิ่งและสร้างระยะทางใหม่เพิ่มมาเสมอถึงแม้ว่าระยะที่ลุงวิ่งเพิ่มเข้ามาจะเล็กน้อยแค่ไหนก็ตาม เหมือนกับว่าเราพยายามซูมเข้าไปเรื่อยๆ ถึงแม้ว่าระยะห่างระหว่างพ่อกับลุงจะดูใกล้กันมากเหลือเกินแต่มันก็ยังมีระยะทางที่เหลืออีกอินฟินิตี้เลยที่พ่อจะต้องวิ่งไปเพื่อให้ทันลุง เลยกลายเป็นว่าไม่ใช่แค่พ่อจะแซงลุงไม่ได้ แต่แค่ตามลุงให้ทันยังทำไม่ได้เลยด้วยซ้ำ

อาจจะอ่านแล้วมันตะหงิดใจ เพราะในความเป็นจริงเราต่างรู้ดีว่าถ้าพ่อวิ่งเร็วกว่าลุงแล้วในไม่ช้าพ่อก็จะตามทันและวิ่งแซงลุงไปได้ ต่อให้ลุงจะเริ่มต้นก่อนไปแล้ว 250 เมตรก็ตาม ซึ่งกลายเป็นว่าบทสรุปที่ได้จากการให้เหตุผลมันขัดกับสิ่งที่เกิดขึ้นจริง เลยกลายเป็นข้อขัดแย้ง (paradox) ขึ้น ซึ่งข้อขัดแย้งนี้มีชื่อเรียกว่า Achilles and the tortoise paradox

The second problem of Zeno’s

หรือในอีกกรณีที่คล้ายคลึงกันแต่มองภาพง่ายขึ้นมาหน่อย คือสมมติว่ามีเด็กน้อยกำลังพายเรือในคลองแถวบ้าน ด้วยสายตาอันกว้างไกลก็เหลือบไปเห็นผักตบชวาลอยอยู่กลางคลองซึ่งห่างออกไป 1 กม. เด็กน้อยปรี๊ดแตกทนเห็นไม่ได้ จึงรีบพายเรือไปด้วยความเร็วคงที่เพื่อหวังจะทำลายกองผักตบชวาเหล่านั้น ในขณะที่พายเรือไปเด็กน้อยจะต้องผ่านระยะที่เป็นครึ่งหนึ่งของระยะทางทั้งหมด นั่นคือ 1/2 กม. จากนั้นก็ต้องพายเรือผ่านระยะทางที่เป็นครึ่งหนึ่งของระยะทางที่เหลือ นั่นคืออีก 1/4 กม. แล้วก็ต้องพายเรือผ่านระยะทางที่เป็นอีกครึ่งหนึ่งของระยะที่เหลืออีกเรื่อยๆ ซึ่งถ้าต้องพายเรือผ่านระยะที่เป็นครึ่งหนึ่งไปเรื่อยๆ แบบนี้แล้วเมื่อไหร่จะไปถึงผักตบชวา

ด้วยความที่ระยะทางที่เหลือสามารถถูกแบ่งออกได้อย่างไม่มีที่สิ้นสุดทำให้สรุปได้ว่าเด็กน้อยไม่สามารถพายเรือไปถึงกองผักตบชวาได้เลย แต่การสรุปแบบนี้มันก็ขัดกับความจริงที่ว่าถ้าเราเคลื่อนที่ไปด้วยความเร็วคงที่ ไม่ช้าก็เร็วเราก็ถึงที่หมายอยู่ดี มันเลยเกิดเป็นข้อขัดแย้งเช่นกัน ซึ่งอันนี้ถูกเรียกว่า Dichotomy paradox

Aristotle’s treatment

จากตัวอย่างข้อขัดแย้งที่ยกขึ้นมาจะเห็นว่าแค่นำแนวคิดของอินฟินิตี้มาใช้กับการเคลื่อนที่ขำๆ ในชีวิตประจำวัน มันยังสร้างข้อขัดแย้งขึ้นเลย เพราะข้อสรุปที่ได้จากการให้เหตุผลไม่สอดคล้องกับสิ่งที่เกิดขึ้นจริง ทำให้ข้อขัดแย้งของ Zeno นี้สร้างความสับสนให้กับนักปรัชญาในยุคนั้นมาก

และเมื่อเรื่องราวข้อขัดแย้งเหล่านี้ล่วงรู้ไปถึงนักปรัชญาผู้โด่งดังอย่าง Aristotle ก็เลยต้องมาสอนงานเด็กสักหน่อย โดยบอกว่าสาเหตุที่นำพา Zeno ไปได้ข้อสรุปงงๆ แบบนั้นเป็นเพราะมีคนบงการอยู่เบื้องหลัง เอ้ย เพราะยังไม่เข้าใจอินฟินิตี้ต่างหากเล่า!

Aristotle บอกว่าอินฟินิตี้ จริงๆ แล้วแบ่งได้ 2 ประเภทด้วยกัน คือ

1. potential infinity เป็นอินฟินิตี้ที่ขึ้นอยู่กับเวลา จะสื่อถึงความไม่สิ้นสุดและไม่มีขอบเขตของกระบวนการบางอย่าง ซึ่งความเป็นอินฟินิตี้ในลักษณะนี้คือ ที่เวลาใดๆ มันจะเป็นแค่ค่าจำกัด (finite) เท่านั้น เหมือนกับเรานับเลขไปเรื่อยๆ โดยในแต่ละครั้งที่นับเลข ค่าที่นับได้มันไม่ใช่อินฟินิตี้ แต่ถ้าเรานับไปเรื่อยๆ มันจะไปถึงอินฟินิตี้ แต่เราก็ไม่สามารถนับไปถึงอินฟินิตี้ได้ เพราะมันไม่มีที่สิ้นสุด
2. actual infinity (หรือ complete infinity) เป็นอินฟินิตี้ที่ไม่ขึ้นกับเวลาหรือกระบวนการใดๆ ทั้งนั้น มันคืออินฟินิตี้ที่แท้ทรู เป็นเหมือนกับกระเป๋าโดเรมอนที่เสกของออกมาได้ไม่จำกัด แต่ภายใต้ความไม่จำกัดนั้น มันไม่สามารถเพิ่มเติมอะไรได้เลย

โดย Aristotle บอกต่ออีกว่าสำหรับข้อขัดแย้งบ้าบอเหล่านั้นมันเกิดขึ้นมาเพียงเพราะว่า Zeno พยายามยัดเยียดความเป็น actual infinity ให้กับระยะทางว่ามันประกอบมาจากส่วนย่อยๆ หรือระยะทางย่อยๆ จึงทำให้สามารถถูกแบ่งออกได้ไม่จำกัด และเป็นเพราะ Zeno ที่ต้องการให้พ่อวิ่งไปถึงลุงให้ได้ หรือเด็กน้อยพายเรือไปเก็บผักตบชวาได้ คือความพยายามจะจบกระบวนการทั้งๆ ที่มันไม่สามารถทำให้จบได้ เนื่องจากต่อให้พ่อวิ่งไปใกล้ลุงหรือเด็กน้อยจะพายเรือไปใกล้ผักตบชวาแค่ไหนมันก็ยังมีระยะที่เหลือต่ออยู่ดี ซึ่งแนวคิดนี้มันควรเป็น potential infinity มากกว่า

Zeno จึงผิดที่สรุปว่า “เราไม่สามารถเดินทางผ่านระยะทางที่เป็น infinity ภายในระยะเวลาที่จำกัดได้” ซึ่งจริงๆ แล้วบทสรุปที่ถูกต้องตามความคิดของ Aristotle มันควรจะเป็น “เราไม่สามารถเดินทางผ่านระยะทางที่เป็น actual infinity ภายในระยะเวลาที่จำกัดได้ แต่เราสามารถเดินทางผ่านระยะทางที่เป็น potential infinity ภายในระยะเวลาที่จำกัดได้” ต่างหาก

ด้วยความมีชื่อเสียงของ Aristotle เลยเกิดปรากฏการณ์คล้ายๆ กับลัทธิบูชาตัวบุคคลทำให้มีอคติต่อผลงานของเขา อะไรๆ ที่มาจาก Aristotle ก็สนับสนุนไว้ก่อนแม้ว่าการออกมาแหก Zeno ครั้งนี้ Aristotle เองก็ไม่ได้ให้คำตอบที่ชัดเจนก็ตาม แต่ก็ได้รับการยอมรับเฉยเลย

มาถึงตรงนี้ ผู้อ่านคิดเห็นกันว่ายังไงบ้าง แนวคิดของ Zeno หรือ Aristotle ที่ถูกกันแน่ เลือกทีมกันไว้ก่อนเลย แล้วค่อยมาอ่านบทความต่อไปครับ

ปล. สามารถติดตามบทความอื่นๆ ได้ที่ Almost Everywhere ครับ

References

1. The history and evolution of the concept of infinity
2. potential infinite vs. actual infinity (in the Aristotelian sense)
3. Infinite — internet encyclopedia of philosophy
4. Zeno’s paradoxes