อินฟินิตี้ที่มากกว่าอินฟินิตี้

เพื่อความเข้าใจที่สมบูรณ์ แนะนำว่าให้อ่านสองบทความนี้ก่อนเริ่มอ่านเนื้อหาในส่วนต่อไปครับ

มากแค่ไหนถึงเรียกอินฟินิตี้

อภินิหารอินฟินิตี้

หากคิดตามวิธีสุดคลาสสิคของ Cantor ในการเปรียบเทียบขนาดของสองเซตใดๆ ไม่ว่าจะเป็น finite หรือ infinite set ก็ต้องหา “การจับคู่ที่ดี” ให้ได้ ถ้ามีการจับคู่ที่ดีระหว่างสองเซตที่สนใจอยู่นั่นหมายความว่าเซตทั้งสองมีขนาดเท่ากัน แต่ถ้ามันไม่มีการจับคู่ที่ดีเลยแสดงว่าเซตทั้งสองเซตนั้นมีขนาดไม่เท่ากัน

การจับคู่ที่ดี คือการจับคู่กันได้ครบทุกตัวโดยที่ไม่มีคู่ไหนใช้ตัวที่ซ้ำกันเลย หรือเรียกว่า bijection อาจมองภาพได้ว่าเป็นการจองตั๋วดูหนังก็ได้ ถ้าจองกันเต็มทั้งโรง แสดงว่าจำนวนคนซื้อบัตรมีขนาดเท่ากับจำนวนที่นั่ง ซึ่งสามารถบอกความเท่ากันนี้ได้เลยโดยไม่ต้องนับจำนวนคนหรือจำนวนที่นั่งเลย

ด้วยวิธีการนี้ ทำให้ได้ว่าเซตของจำนวนนับ (N) เซตของจำนวนคี่ (O) เซตของจำนวนคู่ (E) เซตของจำนวนเต็ม (Z) และเซตของจำนวนตรรกยะ (Q) มีขนาดเท่ากัน และเท่ากับ aleph naught โดยสาเหตุที่มีขนาดเท่ากันก็เพราะว่าสามารถหาการจับคู่ที่ดีระหว่างกันได้นั่นเอง

มันเริ่มมีปัญหาเมื่อพิจารณาที่เซตของจำนวนจริง (R) เพราะหลังจากที่ Cantor ใช้เวลาหาพอสมควรก็ยังไม่เจอสักที เลยเอะใจว่า “หรือมันจะไม่มีการจับคู่ที่ดีระหว่างเซตของจำนวนนับและเซตของจำนวนจริงนะ”

แต่จะมีวิธีการยืนยันลางสังหรณ์นี้ยังไงให้เป็นที่ยอมรับได้ในทางคณิตศาสตร์ ซึ่งกรณีนี้จะยากกว่าการบอกว่ามันมีการจับคู่ที่ดีระหว่างกัน เนื่องจากว่าถ้ามันมีการจับคู่ที่ดีระหว่างกันจริงก็แค่แสดงการจับคู่ที่ดีนั้นให้ดูก็จบ แต่ถ้าบอกว่ามันไม่มี คำถามเกิดขึ้นทันทีเลยว่ารู้ได้ไงว่ามันไม่มี เพราะการที่หาไม่เจอไม่ได้หมายความว่ามันจะไม่มี (อันนี้ต้องระวังคำพูดด้วย คือ ถ้ามันไม่มี แล้วจะหาไม่เจออย่างแน่นอน แต่ถ้าหาไม่เจอ จะไม่สามารถสรุปได้ว่ามันไม่มี มันอาจจะมีแต่ยังหาไม่เจอก็ได้ไง)

แล้วรู้ได้ไงว่ามันไม่มีการจับคู่ที่ดีระหว่างเซตของจำนวนนับและเซตของจำนวนจริง

วิธีการสุดโหดวิธีหนึ่งบอกว่า ก็ลองสมมติสิ่งที่ตรงกันข้ามให้เป็นจริงดู แล้วคิดไล่เรียงมาจากการสมมตินี้ด้วยเหตุผลที่สมเหตุสมผล ถ้าเกิดว่ามีข้อขัดแย้งเกิดขึ้นระหว่างที่ให้เหตุผล แสดงว่าสิ่งที่สมมติไว้ตอนแรกมันไม่จริง ซึ่งนั่นหมายความว่าในความเป็นจริงแล้วสิ่งที่ตรงกันข้ามของสิ่งที่สมมติต่างหากที่เป็นจริง โดยจะเรียกวิธีการให้เหตุผลหรือการพิสูจน์นี้ว่า proof by contradiction

เพื่อให้เห็นภาพ อาจมองเป็นการถกเถียงกันในหมู่เพื่อนว่าตอนดูหนังว่า “เรื่องนี้ใครเป็นนางเอก” เพื่อนบอกอาจเป็นคนนี้ แต่เราคิดว่าไม่น่าใช่ เลยให้เหตุผลกลับไปว่า ถ้าคนนี้คือนางเอก มันต้องมีบทเด่นกว่านี้สิ แต่ทำไมมันออกนิดเดียวเอง (มันขัดแย้งกับความจริงที่ยึดถือมาว่านางเอกต้องมีซีนเยอะๆ) คนนี้ไม่ใช่นางเอกหรอก (เลยสรุปได้ว่าสิ่งที่ตรงข้ามกับสิ่งที่สมมติไว้จึงเป็นจริง)

คำว่าความจริงที่ยึดถืออาจกลายเป็นประเด็นได้เนื่องจากมันจะไปขึ้นกับประสบการณ์ของแต่ละคนแทน แต่ในทางคณิตศาสตร์มันคือสิ่งที่พิสูจน์ได้มาก่อนหน้านี้ (รวมถึง axioms ต่างๆ)

ดังนั้นอย่างในกรณีนี้ที่คิดว่า “มันไม่น่าจะมีการจับคู่ที่ดีระหว่างเซตของจำนวนนับและเซตของจำนวนจริง” วิธีการคือสมมติว่ามันมีการจับคู่ที่ดีระหว่างกันดู และถ้ามันเกิดข้อขัดแย้งขึ้นมาแล้วล่ะก็ แสดงว่าสิ่งที่สมมติไว้มันไม่จริง และจะได้ว่าของจริงควรเป็นสิ่งที่ตรงข้ามกับที่สมมติไว้ นั่นคือมันไม่มีการจับคู่ที่ดีระหว่างกัน

ก็มาภาวนากันว่าจะเจอข้อขัดแย้งสักแห่งในการให้เหตุผลหลังจากนี้

จากที่สมมติว่ามันมีการจับคู่ที่ดีระหว่างเซตของจำนวนนับและเซตของจำนวนจริง นั่นหมายความว่าจำนวนนับแต่ละตัวสามารถจับคู่กับจำนวนจริงแต่ละตัวได้ครบทุกตัวโดยที่ไม่มีคู่ไหนซ้ำกันเลย

แต่เนื่องจากบทความนี้ เรารู้มาว่าเส้นตรงที่มีความยาวไม่จำกัดกับเส้นตรงที่มีความยาวหนึ่งหน่วยมีจำนวนจุดเท่ากัน หรือในบริบทนี้ก็คือมันมีการจับคู่ที่ดีระหว่างเส้นตรงทั้งสองเส้นนี้นั่นเอง ซึ่งเส้นตรงสองเส้นนี้มันเป็นภาพในจินตนาการเวลานึกถึงเซตของจำนวนจริงทั้งหมด และเซตของจำนวนจริงที่มีค่าจำกัดอยู่ในบางช่วง เช่น ตั้งแต่ 0 ถึง 1 ตามลำดับ

เราใช้เส้นตรงเป็นตัวแทนในการพูดถึงจำนวนจริง และส่วนของเส้นตรงในการพูดถึงจำนวนจริงที่มีค่าในช่วงที่จำกัด เช่นช่วงตั้งแต่ 0 ถึง 1 เป็นต้นโดยเส้นตรงพวกนี้จะถูกเรียกว่าเป็น graphical representation ของจำนวนจริง

โดยใช้ครึ่งวงกลมเป็นตัวเชื่อม จะได้ว่ามีการจับคู่ที่ดีจากครึ่งวงกลมไปยังทั้งเส้นตรงที่มีความยาวจำกัดและไม่จำกัด แสดงว่ามันจะมีการจับคู่ที่ดีระหว่างเส้นตรงที่มีความยาวจำกัดและไม่จำกัด (อ่านเพิ่มเติม)

จึงสามารถสรุปได้ว่ามันมีการจับคู่ที่ดีระหว่างเซตของจำนวนจริงกับบางส่วนของมันที่มีค่าตั้งแต่ 0 ถึง 1 หรือก็คือขนาดของสองเซตนี้มีค่าเท่ากัน

และจากการที่เซตของจำนวนจริงทั้งหมดดันมีขนาดเท่ากับส่วนหนึ่งของมันที่มีค่าตั้งแต่ 0 ถึง 1 เลยทำให้สามารถลดทอนปัญหามาสนใจแค่ค่าของจำนวนจริงที่อยู่ในช่วงตั้งแต่ 0 ถึง 1 ได้แทนที่จะต้องใช้จำนวนจริงทั้งหมด ดังนั้นตอนนี้สมมติฐานที่ตั้งไว้จะกลายเป็นว่า

จำนวนนับแต่ละตัวสามารถจับคู่กับจำนวนจริงแต่ละตัวที่มีค่าตั้งแต่ 0 ถึง 1 ได้ครบทุกตัวโดยที่ไม่มีคู่ไหนซ้ำกันเลย

ถึงแม้ว่าจะไม่รู้ว่าการจับคู่ที่ดีนั้นมีหน้าตาเป็นยังไง แต่จากสมมติฐานคือมันต้องมีการจับคู่ที่ดีนั้นอยู่สักอัน เราก็อาจจะจับคู่แต่ละจำนวนนับไปยังจำนวนจริงที่มีค่าตั้งแต่ 0 ถึง 1 ดังนี้

เนื่องจากว่าถ้าระบุค่าของจำนวนจริงที่ถูกจับคู่ไปเลย มันจะจำเพาะเจาะจงไปหน่อย เลยบอกแบบกว้างๆ ว่า

1. ต้องมีตัวที่จับคู่กับ 0 และ 1 ในกรณีนี้ก็คือเอา 0 จับคู่กับ 0 และ 1 จับคู่กับ 1
2. ส่วนจำนวนนับอื่นๆ ก็จับคู่กับจำนวนจริงทั้งหมดที่มีค่าอยู่ระหว่าง 0 ถึง 1 ที่ถูกเขียนให้อยู่ในรูปของทศนิยม โดยให้เหล่า a, b, c, … ที่มีตัวเลขห้อยนั้นคือหนึ่งในจำนวนเต็มตั้งแต่ 0 ถึง 9 (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) ที่ใช้แสดงค่าของทศนิยมแต่ละตำแหน่ง แต่มีข้อแม้ว่าเลขแต่ละชุดของ a, b, c, … พวกนี้จะไม่สามารถเป็น 0 หรือ 9 พร้อมกันทั้งหมด

ถ้ามันเป็น 0 ทั้งหมดจะกลายเป็น 0.0000… ซึ่งมีค่าเท่ากับ 0 และถ้าเป็น 9 ทั้งหมดจะเป็น 0.9999… ซึ่งมีค่าเท่ากับ 1 (ทำไม? เดี๋ยวเพิ่ม link ทีหลัง) แต่ทั้งสองค่านี้ถูกจับคู่ไปแล้ว (ไม่ใช้ซ้ำ)

โดยที่การจับคู่นี้เป็นการใช้จำนวนจริงทั้งหมดในช่วงตั้งแต่ 0 ถึง 1 แล้ว แต่การเขียนแทนตำแหน่งทศนิยมด้วยการใช้ตัวอักขระละติน a, b, c, … มันอาจเกิดความสงสัยได้ว่าถ้าใช้ไปถึง z แล้ว ตัวต่อไปควรจะเป็นอะไรดี หรือว่าจบแค่นั้นหรอ เพื่อป้องกันความงุนงงโดยไม่จำเป็นนี้ เลยมักจะใช้ตัวห้อย (subscript) ที่เป็นเลขจำนวนนับตั้งแต่ 1 ในการรันไปเรื่อยๆ ดังนี้

โดยที่ d ที่ห้อยด้วยตัวเลข 2 ตำแหน่ง (ตำแหน่งแรกบอกแถว อีกตำแหน่งบอกหลักหรือก็คือตำแหน่งทศนิยม) นั้นแท้จริงแล้วก็คือ a, b, c, … เหมือนเมื่อกี๊เลย ซึ่งหมายความว่า d ในแต่ละแถวห้ามเป็น 0 หรือ 9 พร้อมกันหมด และด้วยความเป็นอินฟินิตี้ของจำนวนนับทำให้ตัวเลขที่ห้อยใน d สามารถเพิ่มไปเรื่อยๆ อย่างไม่มีที่สิ้นสุดได้

Cantor เริ่มเคลือบแคลงใจในการจับคู่ที่ดีนี้ว่ามันจับคู่จำนวนจริงในช่วงตั้งแต่ 0 ถึง 1 ได้ไม่ครบทุกตัวหรอก ซึ่งพูดยังไม่ทันขาดคำก็ยกตัวอย่างมาว่า

คือค่าที่ถูกลืมในการจับคู่ครั้งนี้

แวบแรกที่เห็นอาจจะดูสับสนกับสัญลักษณ์นิดหน่อย แต่มันหมายความว่า เจ้าเลขทศนิยม x เนี่ย มีเงื่อนไขว่า

• ทศนิยมตำแหน่งที่ 1 เป็นเลขอะไรก็ได้แต่ต้องไม่ใช่ 0 หรือ 9 หรือ d_11
• ทศนิยมตำแหน่งที่ 2 เป็นเลขอะไรก็ได้แต่ต้องไม่ใช่ 0 หรือ 9 หรือ d_22
• ทศนิยมตำแหน่งที่ 3 เป็นเลขอะไรก็ได้แต่ต้องไม่ใช่ 0 หรือ 9 หรือ d_33
• …

โดยสาเหตุที่ต้องมีเงื่อนไขแบบนั้น มีดังนี้

1. สาเหตุที่แต่ละตำแหน่งต้องไม่เท่ากับ 0 ก็เพื่อป้องกันกรณีที่เป็น 0.0000… รวมถึงทศนิยมสวยๆ พวก 0.5000.. ไรงี้ (ศัพท์เทคนิคเรียก terminating decimal)
2. สาเหตุที่แต่ละตำแหน่งต้องไม่เท่ากับ 9 ก็เพื่อป้องกันกรณีที่เป็น 0.9999… หรือทศนิยมงงๆ เช่น 0.4999… (ศัพท์เทคนิคเรียก repeating decimal)
3. สาเหตุที่ทศนิยมตำแหน่งที่ i ต้องไม่เท่ากับ d_ii ที่อยู่ในลิสต์ก็เพื่อทำให้ค่าทศนิยม x ที่สร้างขึ้นมาใหม่นี้มีความแตกต่างกับทุกจำนวนจริงที่ถูกจับคู่ไปแล้ว (คือมั่นใจได้อย่างแน่นอนว่ามันจะแตกต่างจากค่าทศนิยมที่ถูกจับคู่ไปแล้วอย่างน้อยตัวละ 1 ตำแหน่ง)

นั่นหมายความว่า ค่า x นี้แตกต่างกับจำนวนอื่นๆ ทั้งหมดเลย หรือก็คือ x ไม่อยู่ในการจับคู่ครั้งนี้ ทั้งๆ ที่ x ก็เป็นจำนวนจริงในช่วงตั้งแต่ 0 ถึง 1 มันเลยไปขัดแย้งกับในตอนแรกที่สมมติว่าการจับคู่นี้เป็นการจับคู่ที่ดีที่ต้องจับคู่ได้ครบทุกตัวและไม่ซ้ำกันเลย

เมื่อมีข้อขัดแย้งเกิดขึ้น เลยสามารถสรุปได้ว่าจริงๆ แล้วมันไม่มีการจับคู่ที่ดีระหว่างเซตของจำนวนนับและเซตของจำนวนจริง ดังนั้นเลยสรุปต่อได้ว่าเซตของจำนวนนับมีขนาดไม่เท่ากับเซตของจำนวนจริง

ด้วยความสวยงามของการให้เหตุผลในครั้งนี้ เลยเรียกกระบวนการทั้งหมดที่จะสรุปว่าเซตจำนวนนับมีขนาดไม่เท่ากับเซตของจำนวนจริงว่า Cantor’s diagonal argument และจากการที่ไม่สามารถหาการจับคู่ที่ดีระหว่างเซตของจำนสนจริงกับเซตของจำนวนนับได้ เลยจะเรียกเซตของจำนวนจริงว่าเป็น uncountable set

แต่เดี๋ยวก่อน เนื่องจากเซตของจำนวนนับและเซตของจำนวนจริงต่างก็เป็น infinite set เหมือนกัน แต่กลายเป็นว่าความเป็นอินฟินิตี้ของพวกมันมีขนาดไม่เท่ากัน!

จากคุณสมบัติของการเปรียบเทียบขนาดของสองเซตใดๆ ถ้าไม่สามารถหาการจับคู่ที่ดีระหว่างเซต A และ B ได้ แต่ยังพอหาการจับคู่ที่ “เกือบดี” แทนได้จะสรุปว่าเซต A มีขนาดน้อยกว่าเซต B โดยที่การจับคู่ที่เกือบดี หมายถึง การจับคู่โดยใช้ตัวไม่ซ้ำกัน (ไม่จำเป็นว่าต้องจับตัวใน B ได้ครบทุกตัว) ซึ่งเราสามารถสร้างการจับคู่ที่เกือบดีจากเซตของจำนวนนับไปยังเซตของจำนวนจริงได้ โดยการจับคู่แต่ละจำนวนนับไปยังค่าเดียวกันในเซตของจำนวนจริง ยกตัวอย่างเช่น จับคู่ 0 ในเซตของจำนวนนับไปยัง 0 ในเซตของจำนวนจริง

ทำให้ได้ว่าเซตของจำนวนนับมีขนาดน้อยกว่าเซตของจำนวนจริง และการที่ขนาดของเซตจำนวนจริงมีค่ามากกว่า aleph naught เลยทำให้ต้องนิยามขนาดของจำนวนจริงด้วย แต่จะนิยามธรรมดาโลกไม่จำ เลยใช้ตัว c ในแบบแฟนตาซี เรียกว่า franktur script c (ลักษณะเป็นตัว c แบบเหลี่ยมๆ หนาๆ ตามภาพด้านล่าง และตามความเข้าใจคือ c มาจาก continuum ที่อาจแปลโดยทั่วไปว่าคือความต่อเนื่อง แต่ในคณิตศาสตร์จะสื่อถึงเซตของจำนวนจริงได้ด้วย) ทำให้ได้ว่า

โดยที่ |A| หมายถึง ขนาดของเซต A

หรือพูดให้ตื่นเต้นกว่านั้นก็คือ อินฟินิตี้ที่คิดว่าเยอะแบบไม่มีขอบเขตแล้ว มันยังมีอินฟินิตี้อื่นที่มากกว่าอินฟินิตี้ที่เคยจินตนาการไว้อีก คำถามคือความเป็นอินฟินิตี้ของจำนวนจริงมันต้องมากขนาดไหน และด้วยขีดความสามารถของเราสามารถเข้าถึงความมากแบบนั้นได้หรือไม่!?

ปล. สามารถติดตามบทความอื่นๆ ได้ที่ Almost Everywhere ครับ

References

1. Infinite — internet encyclopedia of philosophy
2. There are more real numbers than natural numbers