เมื่อความเท็จและความจริงไม่สามารถอธิบายทุกสิ่งได้
เรามักคุ้นเคยกับความเป็น binary ของค่าความจริง (truth value) ในการให้เหตุผลของสิ่งต่าง ๆ ที่มีแค่ จริง (true) และเท็จ (false) เท่านั้น ซึ่งแนวคิดนี้มีความสมเหตุสมผลและเป็นที่ยอมรับได้ และมากกว่านั้นก็ได้ถูกพัฒนาต่อยอดมาเป็นตรรกศาสตร์ที่เราได้เรียนกันตอนม. ปลาย
ในบทความนี้ ขอเชิญทุกท่านเข้ามาร่วมถกเถียงกันในประเด็นของการให้เหตุผลของข้อความต่าง ๆ กันครับ
“ถ้าหากว่าสิ่งใดสิ่งหนึ่งไม่จริง นั่นแปลว่ามันต้องเป็นเท็จ” ข้อความนี้เป็นจริงหรือเท็จ?
จริงและจริงได้จริง
จุดเริ่มต้นของการให้เหตุผลเกิดขึ้นมาจาก laws of thought และ rule of inference โดยขอพูดถึง rule of inference ก่อน (เพราะ laws of thought มีประเด็นเยอะ) ซึ่งจะเป็น deductive reasoning ในรูปแบบที่มี premises และ claim มาให้เราตรวจสอบว่าถ้าใช้ข้อมูลจากประพจน์ (proposition) ที่กำหนดให้ทั้งหมดแล้ว (เรียกว่า premises) พอมีทางไหนที่จะสามารถสรุป “อย่างสมเหตุสมผล” ว่าอีกประพจน์หนึ่ง (claim) เป็นจริงหรือเปล่า ยกตัวอย่างเช่น
ซึ่งพบว่า claim ในตัวอย่างนี้เป็นจริง เพราะว่าในรูปประโยคถ้าแล้วของ premise ที่ 1 บอกเงื่อนไขว่าถ้าเป็นวันเสาร์ แล้วจะเขียนบทความ ประกอบกับ premise ที่ 2 ที่บอกข้อมูลว่าวันนี้เป็นวันเสาร์ทำให้มันสอดคล้องเงื่อนไขของ premise ที่ 1 จึงสามารถสรุป claim ที่ว่า “ฉันเขียนบทความ” เป็นข้อสรุปที่สมเหตุสมผล
ความน่ากลัวของ rule of inference คือเราจะพิจารณาความสมเหตุสมผลของ claim จากข้อมูลที่ได้ใน premises เท่านั้น นั่นหมายความว่าถ้าเรามีข้อความบางอย่างใน premises ที่ไม่เป็นจริง เราก็ต้องสมมติว่ามันเป็นจริงและยึดถือข้อความนั้นเพื่อนำไปหาข้อสรุปของ claim ยกตัวอย่างเช่น
claim นี้ก็ยังเป็นจริงตามหลักการการให้เหตุผลถึงแม้เราต่างรู้ดีว่า 7 หารด้วย 2 ไม่ลงตัวก็ตาม สิ่งที่อาจตั้งคำถามได้คือ แล้วทำไมเราถึงใส่ “7 เป็นเลขคู่” ลงไปเป็นหนึ่งใน premises ทั้ง ๆ ที่รู้ทั้งรู้ว่ามันไม่จริง
ในกรณีนี้ยังตอบง่าย เพราะว่าการที่ 7 จะเป็นเลขคู่หรือไม่ใช่เลขคู่เป็นสิ่งที่พิสูจน์ได้แน่นอน (แต่ก็ต้องขึ้นกับนิยามบางอย่าง) และมากกว่านั้นการที่ 7 จะเป็นอะไรนั้นไม่ได้ส่งผลหรือสร้างประโยชน์ให้ใคร แต่ถ้าหากลองเปลี่ยนข้อความใน premises ให้ใกล้ตัวอีกสักหน่อยเป็น ยกตัวอย่างเช่น “การเป็นสมาชิกใน CPTPP จะทำให้เศรษฐกิจดี” ด้วย claim ที่ว่า “ไทยควรเป็นสมาชิก CPTPP” เราคงต้องตั้งคำถามกันยาว ๆ ว่าทำไมถึงใส่ข้อความแบบนั้นลงไปใน premises ทั้ง ๆ ที่รู้ทั้งรู้ว่ามันไม่จริง!
Laws of thought
กลับมาถึงตัวที่เป็นรากฐานของการให้เหตุผล โดย laws of thought นี้จะประกอบไปด้วย 3 ข้อด้วยกัน ได้แก่
- law of non-contradiction: ข้อความหนึ่งไม่สามารถเป็นจริงและเท็จได้พร้อมกัน (a statement cannot be both true and false at the same time)
- law of excluded middle: ถ้าข้อความนั้นไม่เป็นจริงก็ต้องเป็นเท็จ (a statement is either true or false)
- law of identity: ข้อความนั้นต้องให้ค่าความจริงเหมือนกับตัวมันเอง (a statement is identical with itself)
Law of non-contradiction
ความหมายของกฎข้อนี้คือ อะไรก็ตามไม่สามารถเป็นจริงและเท็จได้พร้อมกัน โดยสามารถเขียนด้วยสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ได้ดังนี้
ข้อความภายในวงเล็บบอกว่าข้อความ p เป็นทั้งจริงและไม่จริง เสร็จแล้วมีเครื่องหมาย negation อยู่ด้านนอกวงเล็บหมายถึงว่าให้เอาข้อความที่ตรงข้ามกันแทน เลยสามารถสรุปกลับมาเป็นภาษาคนได้ว่า “ข้อความใด ๆ ไม่สามารถเป็นจริงและเท็จได้พร้อมกัน”
หนึ่งในประโยชน์ของการใช้กฎข้อนี้คือการนำไปใช้ในการพิสูจน์ในรูปแบบที่เรียกว่า reductio ad absurdum หรือการพิสูจน์โดยใช้ข้อขัดแย้ง (proof by contradiction) โดยจะเริ่มต้นการพิสูจน์จากการสมมติว่าข้อความตรงข้ามเป็นจริง และคาดหวังว่าจะนำไปสู่ความขัดแย้งทางการให้เหตุผล เช่น ตัวอย่างสุดคลาสสิคคือการพิสูจน์ว่า √2 เป็นจำนวนอตรรกยะ (square root of 2 is an irrational number) ก็จะเริ่มต้นจากการสมมติว่า “√2 เป็นจำนวนตรรกยะ” ก่อน แล้วก็ทำมาเรื่อย ๆ จนได้ข้อสรุปที่ขัดแย้งกันเอง ทำให้สรุปได้ว่า จริง ๆ แล้วสิ่งที่ถูกต้องเป็นข้อความตรงกันข้าม ซึ่งก็คือ “√2 เป็นจำนวนอตรรกยะ” ต่างหาก
แต่ความซาบซึ้งและความสวยงามของกฎข้อนี้อาจจะต้องถูกเก็บไว้เชยชมแค่เพียงขอบเขตของการพิสูจน์ในคณิตศาสตร์เท่านั้น เพราะเมื่อปีก่อนเราคงได้เห็นปรากฎการณ์ที่ฉีกทุกเกณฑ์ของผู้มีอิทธิพลในไทยโดยการบอกสถานะตัวเองว่าเป็นและไม่เป็นเจ้าหน้าที่ของรัฐในเวลาเดียวกัน
Law of excluded middle
จาก law of non-contradiction เราสามารถใช้วิธีการให้เหตุผลแบบหนึ่ง (ซึ่งคือ De Morgan’s laws) เพื่อสรุปเป็น law of excluded middle ได้ โดยสามารถเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์คณิตศาสตร์ได้ดังนี้
แม้ว่าจะดูเหมือนเป็นผลพลอยได้จากกฎข้อที่แล้ว แต่การตีความกลับแตกต่างไปอย่างสิ้นเชิง เพราะจากรูปประโยคทางตรรกศาสตร์นี้ สามารถให้ความหมายได้ว่า อะไรก็ตามถ้ามันไม่เป็นจริงก็เท็จเท่านั้น จะมีแค่ 2 ทางเลือกนี้เท่านั้น ไม่มีตรงกลาง (กฎข้อที่แล้วบอกว่ามันไม่สามารถเป็นจริงและเท็จได้พร้อมกัน ไม่ได้บอกถึงความเป็นไปได้ทั้งหมด)
ด้วยความที่มีแค่ 2 ทางเลือกนี้เองทำให้เราสามารถสรุปในรูปแบบที่ว่า ถ้ามันไม่ใช่ตัวเลือก A มันก็ต้องเป็นตัวเลือก B อย่างแน่นอน หรือถ้ามันไม่เป็นจริง มันก็ต้องเป็นเท็จเท่านั้น
สำหรับความพังในการใช้งานกฎนี้ในชีวิตจริง มีเพียบครับ แต่เดี๋ยวค่อยเล่าเพราะจำเป็นต้องใช้ law of identity ในการอธิบายประกอบ
Law of identity
ดูเหมือนว่ากฎนี้น่าจะเข้าใจได้ง่ายสุดในบรรดา laws of thought แล้ว เพราะมันบอกว่าตัวมันเองต้องเท่ากับตัวมันเอง โดยสามารถเขียนด้วยสัญลักษณ์ได้ดังนี้
อาจเกิดคำถามว่าเราจำเป็นต้องมีกฎแบบนี้อยู่ด้วยหรอ เพราะเหมือนกับว่ามันไม่ได้ให้ข้อมูลอะไรเพิ่มเลย การที่ p = p มันก็ใช่ไง มันก็ควรเท่ากันอยู่แล้วสิ แต่บางที p มันอาจไม่ได้มีอยู่แค่รูปแบบเดียว เช่น ข้อความ p มันสามารถตีความหมายได้เป็นข้อความ q และถ้าเรามีอีกหนึ่งข้อความที่ดันพิสูจน์ได้ว่ามันเป็น p มันจะให้เราสามารถสรุปได้ทันทีว่ามันเป็น q ด้วย
สำหรับตัวอย่างที่เห็นภาพมากกว่านั้น เช่น “men are trash” และเราคือผู้ชาย นั่นหมายความว่าตอนนี้เราได้กลายเป็นผู้ชายที่น่าขยะแขยงไปแล้ว ด้วยการใช้ law of identity
ตัวอย่างความพังในการนำ law of excluded middle ไปใช้
กลับมาตามสัญญาด้วยเวลาที่ไม่นาน จากความคุ้นเคยของ law of excluded middle ทำให้เผลอใช้แนวคิดนี้ไปกับ 2 ปริมาณที่เหมือนจะมีความเกี่ยวข้องกัน เช่น “ชอบ-เกลียด” ซึ่งถ้าพูดในเชิงตรรกศาสตร์แล้วมันเป็นการนำไปใช้ที่ไม่ถูกต้อง เพราะถ้าจะใช้กฎข้อนี้จริง ๆ มันควรจะเป็นว่า “ชอบ-ไม่ชอบ” มากกว่า เนื่องจากว่าเราไม่สามารถสรุปได้ว่า ไม่ชอบ=เกลียด เพราะการไม่ชอบอาจจะไม่ได้สื่อถึงว่าต้องเกลียดเสมอไป อาจไม่ได้รู้สึกอะไรก็ได้ เลยไม่สามารถใช้ law of identity ในการแทนที่ “ไม่ชอบ” กับ “เกลียด” ได้ เลยทำให้ในตัวของ law of excluded middle เองยังต้องเป็น “ชอบ-ไม่ชอบ” ไม่ใช่ “ชอบ-เกลียด”
แต่ด้วยความฝืนสรุปไปหน่อย เลยกลายเป็นว่าตอนนี้เหมือนเราจะได้อะไรบางอย่างอยู่ระหว่าง 2 ปริมาณที่ต่างกัน คือ “ชอบ-เฉย ๆ-เกลียด” ทั้ง ๆ ที่ตัวตรงกลางควรจะไม่มี ซึ่งหากยังดึงดันสรุปแบบนี้ มันไม่ได้เกิดมาจาก law of excluded middle อย่างแน่นอน
อย่างไรก็ตามการแอบเนียนใช้ law of excluded middle โดยนำปริมาณที่ดูเหมือนจะอยู่ในด้านตรงข้ามกันยังคงมีให้เห็นอยู่เรื่อย ๆ ยกตัวอย่างเช่น “ยอมรับ” กับ “ปฏิเสธ” ซึ่งในทางสถิติใช้กันหนักมากตอนทดสอบสมมติฐาน มันจะต้อง ยอมรับ ไม่ยอมรับ ปฏิเสธ ไม่ปฏิเสธ คือใช้กันมั่วยับไปหมด
จริงและจริงยังคงเป็นจริง
เพราะด้วยภาษาและบริบทบางอย่างทำให้การตีความของข้อความหนึ่งถูกเปลี่ยนไปเป็นอีกข้อความหนึ่งได้อย่างเหลือเชื่อ มันน่าเศร้ามากหากพบว่าความจริงของข้อความบางอย่างสามารถถูกเปลี่ยนเป็นเท็จได้อย่างง่ายด้วยอำนาจเงินและกระสุนปืน การมีตรรกะที่ถูกต้องเพื่อแยกแยะความสมเหตุสมผลเป็นสิ่งจำเป็นก็จริงอยู่ แต่เราควรจะทำอย่างไรดีหากสิ่งนี้ไม่สามารถทำให้เรามีชีวิตอยู่รอดต่อไปในวันพรุ่งนี้ได้
