เมื่อทุกอย่างถูกอธิบายได้ด้วยสมการคณิตศาสตร์
คณิตศาสตร์ถูกนำมาใช้เป็นเครื่องมือหลักในการเข้าถึงปรากฎการณ์ต่างๆ ในธรรมชาติโดยมีเป้าหมายคือการหาชุดของสมการซึ่งเรียกว่าแบบจำลองที่สามารถให้ผลลัพธ์ที่ใกล้เคียงกับสิ่งที่เกิดขึ้นจริงในธรรมชาติ ข้อดีของการหาแบบจำลองนี้คือการที่สามารถทำนายพฤติกรรมต่อไปของปรากฎการณ์นั้นๆ ได้หรืออาจจะนำไปคำนวณเพื่อวางแผนรับมือกับสิ่งที่กำลังเจอในปัจจุบัน
ด้วยความพยายามมาอย่างยาวนานในการหาแบบจำลองเพื่ออธิบายถึงปรากฎการณ์เหล่านั้น ประกอบกับการพัฒนาองค์ความรู้ทางคณิตศาสตร ์ทำให้ทุกวันนี้เรามีเครื่องมือมากมายสำหรับการสร้างแบบจำลองต่างๆ ตั้งแต่แบบจำลองขำๆ ที่ประมาณได้อย่างคร่าวๆ ไปจนถึงแบบจำลองที่ต้องใช้เวลารันกันเป็นวันกว่าจะได้ผลลัพธ์ออกมา
ขอหยิบยกบางแบบจำลองเพื่อเป็นตัวอย่างในการแสดงให้เห็นภาพมากขึ้น สมมติว่าอยากรู้จำนวนประชากรในอีกรุ่นหนึ่งว่าจะมีเท่าไหร่ ก็สามารถสร้างเป็นความสัมพันธ์ง่ายๆ ได้ว่าจำนวนประชากรในรุ่นต่อไปน่าจะขึ้นอยู่กับจำนวนประชากรในรุ่นปัจจุบันและก็น่าจะขึ้นอยู่กับอัตราการสืบพันธุ์ของประชากรในรุ่นนั้น ทำให้ได้เป็นแบบจำลองนี้
โดยที่ N_t เป็นจำนวนประชากรรุ่นที่ t (แต่ถ้าเป็น t+1 ก็จะแสดงถึงรุ่นที่ t+1 แทน) และ r เป็นอัตราการผสมพันธุ์ระหว่างประชากร
แต่ก่อนแบบจำลองนี้ก็เป็นที่นิยมมากจนกระทั่งชาวโลกรู้จักแคลคูลัส การหาค่าจำนวนที่แท้ทรูของประชากรแต่ละรุ่นด้วยแบบจำลองที่ไม่ต่อเนื่องนี้ (difference equation) อาจมีความสำคัญไม่มากเท่ากับการพิจารณาถึงความแตกต่างของประชากรแต่ละรุ่นแทน ทำให้แบบจำลองนี้ได้รับการพัฒนาให้สามารถอธิบายการเปลี่ยนแปลงของประชากรที่เวลาใดๆ แทน โดยการสมมติให้ N หรือจำนวนประชากรเป็นฟังก์ชันของเวลา t และ r กลายเป็นอัตราการผสมพันธุ์ต่อหนึ่งหน่วยเวลาและนิยามตัวแปรใหม่ Δt คือช่วงระยะเวลาสั้นๆ (infinitesimal) ทำให้สามารถพัฒนาแบบจำลองดังกล่าวได้เป็นดังนี้
ซึ่งแบบจำลองที่ได้นี้จะอยู่ในรูปของสมการเชิงอนุพันธ์ (differential equation) และสามารถแก้เพื่อหาฟังก์ชันของประชากรที่เวลาใดๆ หรือ N(t) ได้ แต่สิ่งสำคัญที่จำเป็นต้องใช้ในการแก้สมการนี้คือเงื่อนไขเริ่มต้น (initial condition) โดยมักจะบอกเป็นค่าที่จุดเริ่มต้นของแบบจำลอง นั่นคือ จำนวนประชากรที่เวลา t=0 หรือก็คือค่าของ N(0) เพราะว่าสิ่งที่แบบจำลองนี้สนใจคือการเปลี่ยนแปลงของจำนวนประชากรเมื่อเทียบกับเวลา แต่การจะหาจำนวนประชากรที่เวลาใดๆ เลย จำเป็นที่จะต้องรู้ค่าประชากรที่เวลาใดเวลาหนึ่งอย่างน้อย 1 ค่า อารมณ์เหมือนกับบอกว่างบประมาณเลือกตั้งปี 2562 เพิ่มขึ้นมาจากตอนปี 2557 ถึง 1915 ล้านบาท แต่เราจะยังไม่รู้ค่าว่างบแต่ละปีเป็นเท่าไหร่จนกว่าจะรู้งบของปีใดปีหนึ่งก่อน
แต่น่าเศร้าที่แบบจำลองตัวใหม่นี้อธิบายได้แค่การเปลี่ยนแปลงหรือจำนวนประชากรในสภาวะที่ค่อนข้างเป็นในฝันสักหน่อย นั่นคือ อยู่ในที่ๆ มีอาหารหรูหราอุดมสมบูณ์ มีทรัพยากรที่สามารถใช้ได้อย่างสิ้นเปลืองไม่มีวันหมด มีอะไรก็ได้ทุกอย่างที่ตอบสนองความต้องการ ซึ่งในชีวิตจริงมันอาจจะโหดร้ายกว่านั้น เพราะทรัพยากรก็มีอย่างจำกัดไม่ว่าจะเป็นอาหารหรือแหล่งที่อยู่ ทำให้ต้องมีการปรับเปลี่ยนนิดหน่อยในแบบจำลองตัวเมื่อกี๊ โดยเพิ่ม K หรือ carrying capacity เข้าไปในสมการเพื่อสื่อถึงความจำกัดของทรัพยากรนี้และเพื่อควบคุมจำนวนประชากรให้ดูสมจริงมากขึ้น
แต่มันก็ยังทำให้ใกล้เคียงกับสิ่งที่เกิดขึ้นในโลกความจริงได้มากกว่านั้นคือการเปลี่ยนแปลงจำนวนประชากรนี้ควรจะขึ้นอยู่กับจำนวนประชากรที่ช่วงเวลาก่อนหน้าด้วยไม่ใช่ขึ้นอยู่กับ t ที่เวลาปัจจุบันอย่างเดียว เพราะความอุดมสมบูรณ์ของทรัพยากรต่างๆ ในช่วงเวลาก่อนหน้าควรจะเป็นตัวกำหนดอัตราการเติบโตของประชากรด้วย จึงเพิ่ม τ>0 ซึ่งสื่อถึง lag time เข้าไปในแบบจำลองด้วย
แต่การเพิ่ม τ ทำให้ต้องเจอกับการเปลี่ยนแปลงครั้งใหญ่ เพราะสมการที่ใช้ในการอธิบายแบบจำลองนี้จะไม่ใช่สมการเชิงอนุพันธ์แบบธรรมดาอีกต่อไป แต่จะเรียกว่า Delay differential equations (DDEs) เพราะมีการเลื่อนเวลาออกไปจากที่ควรเริ่มต้นที่ t=0 ก็กลายเป็น t=-τ แทน ซึ่งตรงจุดนี้ความต้องการเพียงแค่ initial condition ก็ไม่เพียงพอต่อการแก้สมการเพื่อหาฟังก์ชัน N(t) ออกมาเพราะเราไม่รู้ค่าของประชากรในช่วงเวลาที่หายไปตอนที่เวลา t อยู่ในช่วงที่ -τ<t≤0 เลย ซึ่งในบริบทนี้ initial condition จะถูกกลายร่างเป็น initial function หรือ history function เพื่อมาอธิบายพฤติกรรมของฟังก์ชันในช่วง -τ<t≤0
เพื่ออธิบายให้เห็นภาพมากขึ้น เหมือนกับการเปิดเครื่องทำน้ำอุ่นที่ตอนแรกน้ำจะอยู่ที่อุณหภูมิห้องก่อนสักช่วงเวลาหนึ่ง ซึ่งช่วงเวลานี้ก็คือ time lag หรือ τ นั่นเอง จากนั้นอุณหภูมิของน้ำจากเครื่องทำน้ำอุ่นถึงค่อยๆ เพิ่มสูงขึ้นไปจนถึงระดับความร้อนที่เราต้องการ สำหรับการหาแบบจำลองของอุณหภูมิน้ำจากเครื่องทำน้ำอุ่นนี้ก็ต้องเลื่อนการพิจารณาจากแต่เดิมเริ่มที่เวลา t=0 ก็ไปเริ่มที่ t=-τ แทน
แต่การยกตัวอย่างเครื่องทำน้ำอุ่นในประเทศเมืองโคตรร้อนอย่างไทยแลนด์อาจจะมองไม่เห็นภาพอีก เอาเป็นการขับรถบนท้องถนนที่แสนน่ารักในเมืองไทยก็ได้ เวลาเราเร่งเครื่องหรือเบรกนั้นจะเป็นการตัดสินใจมาจากความแตกต่างระหว่างความเร็วของรถเรากับรถคันหน้า โดยที่ช่วงเวลาที่สมองเราประมวลผลว่าจะทำการเปลี่ยนแปลงความเร็วไม่ว่าจะเร่งหรือเบรกเครื่องยนต์นั่นแหล่ะก็คือ time lag แต่ในบริบทนี้จะเรียกชื่อใหม่ว่าเป็น reaction time แต่ก็ยังไงในการสร้างแบบจำลองมาเพื่อใช้ในการอธิบายความเร็วของการเคลื่อนที่ก็ต้องเลื่อนไปเริ่มต้นที่ t=-τ อยู่ดี
เอาจริงๆ แล้วเนี่ย เราสามารถสร้างแบบจำลองให้กับสถานการณ์หรือปรากฏการณ์อะไรก็ได้เลยนะ เพียงแต่ขั้นตอนในการคัดลอกสิ่งที่เกิดขึ้นจริงไปวางไว้ในรูปแบบของคณิตศาสตร์อาจมีความยากง่ายที่แตกต่างกัน และมากกว่านั้นก็มีความท้าทายสำหรับการสร้างแบบจำลองว่ามีความสมเหตุสมผลและความสอดคล้องเพียงพอที่จะอธิบายธรรมชาติได้หรือยังด้วย ซึ่งตรงจุดนี้ก็ยังคงมีการพัฒนาต่อไปเรื่อยๆ
