โรงแรมอินฟินิตี้ยินดีต้อนรับ
อินฟินิตี้ (aleph naught) ที่ดูเหมือนว่ามันมีค่ามากแบบไม่มีที่สิ้นสุดอะไรแล้ว ตอนนี้กลับกลายเป็นว่ามีอินฟินิตี้อีกตัว (franktur c) ที่มีค่ามากกว่ามันซะอีก จนกลายเป็นว่าสรุปแล้วมันต้องมากเบอร์ไหนกันเวลาที่จินตนาการถึงความเป็นอินฟินิตี้
หรือจริงๆ แล้วเราไม่สามารถเข้าถึงความเป็นอินฟินิตี้ได้
ความมากมายของอินฟินิตี้นี้ได้สร้างความประหลาดใจให้กับ Hilbert เป็นอย่างมาก ด้วยความที่มันไม่มีขอบเขตทำให้ความมากนั้นเป็นไปได้อย่างไม่มีที่สิ้นสุดเลยกลายเป็นว่าเมื่อคิดตามเหตุและผลของมันแล้วจะได้ผลลัพธ์บางอย่างที่มันขัดใจ ฝืนความรู้สึกเหลือเกินจนต้องระบายออกมาเป็นขัดขัดแย้ง (paradox) ที่มีชื่อว่า Hilbert’s paradox of the grand hotel
สำหรับเรื่องเล่าของโรงแรมสุดเฮี้ยนนี้ ให้เริ่มจินตนาการโรงแรมแห่งหนึ่งที่มีห้องพักที่มากเป็นอินฟินิตี้และตอนนี้ก็ “เต็ม” หมดทุกห้องแล้วด้วย
อยู่ๆ ก็มีนักท่องเที่ยวคนหนึ่งเดินหลงมาที่เค้าน์เตอร์เพื่อติดต่อเข้าพัก พนักงานกำลังจะบอกว่าห้องพักเต็ม แต่พอดีผู้จัดการเดินผ่านมาเลยบอกกับนักท่องเที่ยวคนนั้นว่า “ทางเรายังมีห้อง ‘ว่าง’ สำหรับคุณ”
พนักงานมองหน้าผู้จัดการด้วยความงุนงง ก็ไหนตอนแรกมันเต็มแล้วมันยังจะไปมีห้องว่างได้ยังไง
ผู้จัดการโชว์ของไปทำเรื่องย้ายแขกที่เข้ามาพักในโรงแรม
- จากที่พักอยู่ห้องที่ 1 ให้ย้ายไปพักห้องที่ 2
- จากที่พักอยู่ห้องที่ 2 ให้ย้ายไปพักห้องที่ 3
- จากที่พักอยู่ห้องที่ 3 ให้ย้ายไปพักห้องที่ 4
- …
ทำให้ในตอนนี้ห้องพักห้องที่ 1 ว่างแล้ว ก็ให้คนมาทำความสะอาดก่อนที่จะเชิญนักท่องเที่ยวคนนั้นเข้ามาพักในห้องแรกที่ว่างอยู่
ซึ่งมันว่างได้ยังไงทั้งๆ ที่ก่อนหน้านี้มันเต็มไม่ใช่หรอ!?
ด้วยการบริการอย่างเอาใจใส่ในระดับ 5 ดาว ทำให้โรงแรมแห่งนี้มีชื่อเสียงมากๆ มากจนทำให้ตอนนี้มีนักท่องเที่ยวมาเพิ่มอีกเป็นอินฟินิตี้ที่ต้องการเข้าพักที่โรงแรมนี้
พนักงานเห็นแขกมาเพียบแบบนี้แล้วแทบล้มทั้งยืน เลยไปเรียกผู้จัดการมาอีกรอบ แต่โชคดีเป็นของผู้จัดการที่ติดตามอ่านเพจ Almost Everywhere และได้อ่านบทความนี้เลยทำให้รู้ว่าเซตของจำนวนคู่ (E) และเซตของจำนวนคี่ (O) ต่างก็เป็น infinite sets ที่มีขนาดเท่ากันและดันมีขนาดเท่ากับเซตของจำนวนนับ (N) แต่ด้วยความที่จำนวนนับมันสามารถแบ่งออกเป็นจำนวนคู่และจำนวนคี่ก็เลยทำให้ผู้จัดการปิ๊งไอเดียว่าก็ให้แขกที่พักอยู่แล้ว ย้ายไปพักห้องที่เป็นเลขคู่แล้วให้แขกอีกอินฟินิตี้นี้เข้าไปพักห้องที่เป็นเลขคี่ โดยการ
- ให้แขกที่พักห้องที่ 1 ย้ายไปพักห้องที่ 2
- ให้แขกที่พักห้องที่ 2 ย้ายไปพักห้องที่ 4
- ให้แขกที่พักห้องที่ 3 ย้ายไปพักห้องที่ 6
- …
เลยกลายเป็นความซวยของพนักงานทำความสะอาดที่ต้องเคลียร์ห้องเป็นจำนวนอินฟินิตี้ให้ทันก่อนที่แขกล็อตใหม่จะเช็คอิน แต่เพียงเท่านี้ก็จะได้ห้องว่างที่เป็นห้องเลขคี่อีกเป็นจำนวนอินฟินิตี้ไว้รองรับนักท่องเที่ยวครั้งนี้ได้ ถึงแม้ว่าก่อนหน้านี้จะดูเหมือนว่าเต็มแล้วก็ตาม
แต่ยังไม่ทันได้นั่งพัก พนักงานเหลือบไปเห็นฝูงรถบัสอีกเป็นจำนวนอินฟินิตี้ที่คราวนี้รถแต่ละคนบรรจุคนเป็นอินฟินิตี้เช่นกันด้วย และทุกคันกำลังมุ่งหน้ามายังโรงแรม!
หากคุณเป็นผู้จัดการโรงแรมจะรับมือยังไง
อาจหยุดเพื่อคิดก่อนเลื่อนอ่านเนื้อหาในส่วนถัดไป
ด้วยเกียรติของโรงแรมที่ต้องรักษาไว้ ผู้จัดการใช้ความคิดอย่างหนัก เนื่องจากว่าบทความในเพจยังไม่ได้เขียนถึงเรื่องนี้ แต่ยังดีที่พอจะจำคุณสมบัติบางอย่างของจำนวนเฉพาะได้ ซึ่งหนึ่งในนั้นคือคุณสมบัติที่เรียกว่า fundamental theorem of arithmetic ที่ค้นพบโดย Carl Friedrich Gauss ว่า
จำนวนเต็มบวกทุกจำนวนที่มากกว่า 1 สามารถเขียนให้อยู่ในรูปของจำนวนเฉพาะหรือผลคูณของจำนวนเฉพาะได้ (และได้แบบเดียวเท่านั้นถ้าไม่คิดเรื่องการสลับที่ของการคูณ)
ทำไมต้องมากกว่า 1 ทำไมถึงเป็น 1 ไม่ได้ (เดี่ยวเพิ่ม link ทีหลัง)
ในความหมายนี้คือ สมมติมีเลข 15 จะสามารถเขียนให้อยู่ในรูปของการคูณของจำนวนเฉพาะได้เป็น 15 = 3 × 5 แต่บางคนอาจบอกว่า 15 = 5 × 3 ก็ได้ ซึ่งเอาจริงแล้วมันก็ใช้เลข 3 และ 5 เหมือนกัน แต่แค่สลับที่กันเท่านั้นเอง ซึ่งถ้าตัดเรื่องการสลับที่ออกไป จะได้ว่ามันมีแบบนี้แบบเดียวเท่านั้น ในการเปลี่ยนเลข 15 ให้อยู่ในรูปของการคูณกันของจำนวนเฉพาะ
และจากความจริงที่ Euclid บอกว่าจำนวนเฉพาะมีอยู่มากมายเป็นอินฟินิตี้เลย ทำให้ผู้จัดการสามารถจัดห้องพักจากที่ “เต็ม” ให้ “ว่าง” ได้เพื่อรองรับนักท่องเที่ยวที่มีจากรถบัสอินฟินิตี้คันและแต่ละคันมีอินฟินิตี้คนด้วย โดยอาจให้แขกที่พักอยู่ก่อนแล้วย้ายไปพักในห้องที่มีเลขห้องเป็น 2 ยกกำลังด้วยเลขห้องเดิม หมายความว่า
- จากเดิมที่อยู่ห้องที่ 1 จะย้ายไปอยู่ห้องที่ 2¹ = 2
- จากเดิมที่อยู่ห่างที่ 2 จะย้ายไปอยู่ห้องที่ 2² = 4
- จากเดิมอยู่ห้องที่ 3 จะย้ายไปอยู่ห้องที่ 2³ = 8
- …
เลยกลายเป็นว่าตอนนี้ความเป็นอินฟินิตี้ของจำนวนห้องพักจะสื่อผ่านเลขชี้กำลังที่เพิ่มไปเรื่อยๆ ทำให้ตอนนี้ห้องพักอื่นๆ ที่มีเลขห้องที่ไม่ได้เป็นเลขยกกำลังของ 2 จะว่างอยู่เต็มไปหมดเลย จึงให้นักท่องเที่ยวที่มาใหม่ไปพักในห้องพักที่มีตัวฐาน (base) เป็นจำนวนเฉพาะตัวอื่นที่ยกกำลังด้วยค่าของหมายเลขที่นั่งในรถบัส
ยกตัวอย่างเช่น รถบัสคับที่ 1 นักท่องเที่ยวที่นั่งอยู่ที่
- ที่นั่งหมายเลข 1 จะให้ไปพักที่ห้องเลขที่ 5¹ = 5
- ที่นั่งหมายเลข 2 จะให้ไปพักที่ห้องเลขที่ 5² = 25
- ที่นั่งหมายเลข 3 จะให้ไปพักที่ห้องเลขที่ 5³ = 125
- …
ในทำนองเดียวกันกับรถคันอื่นๆ โดยใช้ตัวฐานเป็นจำนวนเฉพาะตัวถัดมา คือ 7 นั่นคือ นักท่องเที่ยวบนรถบัสคันที่ 2
- ที่นั่งหมายเลข 1 จะให้ไปพักที่ห้องเลขที่ 7¹ = 7
- ที่นั่งหมายเลข 2 จะให้ไปพักที่ห้องเลขที่ 7² = 49
- ที่นั่งหมายเลข 3 จะให้ไปพักที่ห้องเลขที่ 7³ = 343
- …
และจะเป็นแบบนี้ไปเรื่อยๆ เพราะด้วยความเป็นอินฟินิตี้ของจำนวนเฉพาะเลยสามารถรองรับความเป็นอินฟินิตี้ของรถบัสได้ และใช้เลขชี้กำลังในการแสดงถึงความเป็นอินฟินิตี้ของจำนวนนักท่องเที่ยวที่เป็นอินฟินิตี้ในแต่ละคัน นั่นหมายความว่าต่อให้มาเป็นอินฟินิตี้แค่ไหน จากห้องพักที่เต็มนี้ก็สามารถจัดการตัวเองใหม่ให้ว่างได้เสมอ
ความเป็นอินฟินิตี้ที่กล่าวมาทั้งหมดนี้เป็นจริงได้แค่อินฟินิตี้ที่ countable เท่านั้นหรือก็คืออินฟินิตี้ที่มีขนาดเป็น aleph naught
คำว่า countable อาจสร้างความสับสนได้เหมือนกันว่า อ่าวเราสามารถนับความเป็นอินฟินิตี้ได้หรอ แต่จริงๆ แล้ว เราทำแบบนั้นไม่ได้ เพียงแต่มันสามารถหาการจับคู่ที่ดีไปยังเซตของจำนวนนวนนับได้เท่านั้น
หากลองเปลี่ยนความเป็นอินฟินิตี้ในโรงแรมนี้ให้เป็นอินฟินิตี้ทีมีขนาดเป็น franktur c ภาพของความเป็นอินฟินิตี้จะหายไปในทันที เพราะเราไม่สามารถหาห้องพักให้กับนักท่องเที่ยวที่นั่งอยู่ในที่นั่ง -3.14 ให้เข้าพักในห้องที่มีเลขห้องเป็นจำนวนเต็มได้เลย
มันเลยกลายเป็นว่าอินฟินิตี้มันเยอะเกินไป เราไม่สามารถเข้าใจได้หรอก แต่ Cantor (มาอีกแล้วหรอพี่) ก็ไม่ยอมแพ้ เลยสร้างวิธีการคำนวณตัวเลขอินฟินิตี้พวกนี้ ซึ่งเรียกว่า arithmetic of transfinite numbers เช่น
- เมื่อนำค่า finite สักค่าอย่างเลข 1 ไปบวกกับ aleph naught ผลที่ออกมาคือ aleph naught (ตอนที่มีแขกเพิ่มมา 1 คน)
- เมื่อนำค่า finite สักค่าอย่างเลข 2 ไปคูณกับ aleph naught ผลที่ออกมาก็กลายเป็น aleph naught (ตอนที่มีแขกเพิ่มมาเป็นอินฟินิตี้)
- เมื่อนำ aleph naught มาคูณกันเอง หรือก็คือการยกกำลังสอง จะได้ aleph naught (ตอนที่มีรถบัสอินฟินิตี้คันที่มีอินฟินิตี้คน)
เลยกลายเป็นว่าถ้าเราจะเอาความเป็นอินฟินิตี้มาบวกลบคูณหารมันก็ดูเหมือนว่าจะมีขนาดเท่าเดิม คำถามคือจะมีวิธีไหนบ้างที่สามารถเพิ่มความเป็นอินฟินิตี้ได้ ..มาต่อบทความหน้าครับ
ปล. เค้าว่ากันว่าจริงๆ แล้วแนวคิดของ infinite hotel นี้ไม่ได้มาจาก Hilbert แต่เจ้าของความคิดนี้คือ George Gamow ต่างหาก
ปล2. สามารถติดตามบทความอื่นๆ ได้ที่ Almost Everywhere ครับ
